BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

푑푎푛

푣

푥푥

+푣

푦푦

= 0

0 + 0 = 0 (terbukti)

sehingga u dan v sekawan harmonik

dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa :

a. Dari dua fungsi harmonik tersebut 푣(푥,푦)= 2 푥푦 merupakan

sekawan harmonik 푢

(

푥,푦

)

=푥

2

−푦

2

b. 푢

(

푥,푦

)

=푥

2

−푦

2

bukan sekawan harmonik dari 푣

(

푥,푦

)

= 2 푥푦

Bukti :

Andaikan 푢(푥,푦)=푥

2

−푦

2

sekawan harmonik 푣(푥,푦)= 2 푥푦 maka

diperoleh fungsi:

퐺(푥,푦)=푈+푖푉= 2 푥푦+푖(푥

2

−푦

2

)→ analitik

Untuk itu, cukup ditunjukan berlakunya PCR yaitu :

푈= 2 푥푦 → 푈

푥

= 2 푦 푑푎푛 푈

푦

= 2 푥

푉= 푥

2

−푦

2

→ 푉

푥

= 2 푥 푑푎푛 푉

푦

=− 2 푦

Ternyata :

푈

푥

≠푉

푦

푑푎푛 푈

푦

≠푉

푥

→ berarti PCR tidak terpenuhi, sehingga 퐺(푥,푦)

tidak analitik.

Pengandaian berarti salah, jadi 푢(푥,푦)=푥

2

−푦

2

bukan sekawan

harmonik 푣(푥,푦)= 2 푥푦

c. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukan bahwa −푢

(

푥,푦

)

=−푥

2

+

푦

2

merupakan sekawan harmonik 푣

(

푥,푦

)

= 2 푥푦

2. Fungsi Harmonik dengan persamaan Cauchy-Riemann

Andaikan terdapat suatu fungsi kompleks 푓

(

푧

)

=푢

(

푥,푦

)

+푖푣(푥,푦). Dari

persamaan Cauchy-Riemann

휕푢

휕푥

=

휕푣

휕푦

......( 1 )

휕푢

휕푥

=

휕푣

휕푦

......( 2 )

Jika persamaan (1) dideferensialkan terhadap x diperoleh