BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

휕

2

푢

휕푥

2

=

휕

2

푣

휕푥휕푦

......( 3 )

Jika persamaan (1) didiferensialkan terhadap y diperoleh

휕

2

푢

휕푦휕푥

=

휕푣

휕

2

푦

......( 4 )

Jika persamaan (2) dideferensialkan terhadap x diperoleh

휕

2

푣

휕푥

2

=

휕

2

푢

휕푦휕푥

......( 5 )

Jika persamaan (2) dideferensialkan terhadap y diperoleh

휕

2

푣

휕푦휕푥

=

휕푢

휕푦

2

......( 6 )

Jadi, jika turunan parsial kedua dari u dan v terhadap x dan y ada dan

kontinu dalam suatu daerah riil maka

Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh

휕

2

푢

휕푥

2

+

휕

2

푢

휕푦

2

= 0

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

휕

2

푣

휕푥

2

+

휕

2

푣

휕푦

2

= 0

Persamaan diatas disebut dengan persamaan Laplace. Fungsi dimana

푢(푥,푦) dan 푣(푥,푦) memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah

riil dinamakan fungsi harmonik dan dikatakan harmonik dlaam riil.

Contoh :

Misalkan 푢(푥,푦)=푥

2

−푦

2

dan 푣(푥,푦)= 2 푥푦. Apakah u dan v fungsi

harmonik?

Jawab :

푈

푥

= 2 푥 푉

푥

= 2 푦 푈

푥푦

= 0 푉

푥푦

= 2

푈

푦

=− 2 푦 푉

푦

= 2 푥 푈

푦푥

= 0 푉

푦푥

= 2

푈

푥푥

= 2 푉

푥푥

= 0 푈

푦푦

=− 2 푉

푦푦

= 0

Karena 푈
푥

= 2 푥=푉

푦

,푈

푦

=− 2 푦=−푉

푥

,푈

푥푥

+푈

푦푦

= 2 +

(

− 2

)

=

0 푑푎푛 푉

푥푥

+푉

푦푦

= 0 + 0 = 0 dimana u dan v memenuhi persamaan

Laplace maka u dan v fungsi harmonik.