BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Contoh :

Misalkan 푢

(

푥,푦

)

=푦

3

− 3 푥

2

푦. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u.

Jawab :

푢

푥

=− 6 푥푦 dan 푢

푦

= 3 푦

2

− 3 푥

2

. Menurut persamaan cauchy-Riemann

diperoleh − 6 푥푦=푢

푥

=푣

푦

sehingga

푣(푥,푦)=

∫

(− 6 푥푦)푑푦=− 3 푥푦

2

+ℎ(푥)...( 1 ) atau 푣

푥

=− 3 푦

2

+ℎ′(푥).

Syarat persamaan Cauchy-Riemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu

푢

푦

=−푣

푥

sehingga

3 푦

2

− 3 푥

2

=−[− 3 푦

2

+ℎ(푥)]

3 푦

2

− 3 푥

2

= 3 푦

2

−ℎ(푥)

ℎ′(푥)= 3 푥

2

... (2)

ℎ(푥)=

∫

3 푥

2

푑푥=푥

3

+푐

dari persamaan (1) dan (2) di peroleh 푣(푥,푦)=− 3 푥푦

2

+푥

3

+푐 yang

merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.

3. Fungsi Harmonik Dengan Cara Milne Thomson

Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari

fungsi harmonik u diberikan 푢

(

푥,푦

)

harmonik pada D andaikan 푣

(

푥,푦

)

sehingga

푓

(

푧

)

=푢

(

푥,푦

)

+푖푣(푥,푦) analitik pada D

푓′′(푧)=푢

푥

(푥,푦)+푖푣

푥

(푥,푦)

Sesuai persamaan Cauchy-Raimann : 푓′′(푧)=푢

푥

(푥,푦)+푖푢

푥

(푥,푦)

푧=푥+푖푦 푑푎푛 푧̅=푥+푖푦 sehingga diperoleh

푥=

푧−푧̅

2

dan 푦=

푧−푧̅

2 푖

푓

(

푧

)

=푢

푥

(

푧−푧̅

2

,

푧−푧̅

2 푖

)−푖푢

푦

(

푧−푧̅

2

,

푧−푧̅

2 푖

)

Suatu identitas dalam 푧 dan 푧̅, jika diambil 푧̅=푧 maka

푓

′

(

푧

)

=푢

푥

(푧, 0 )−푖푢

푦

(푧, 0 ). Jadi 푓(푧) adalah fungsi yang derivatifnya 푢

푥

=

(

푧, 0

)

−푖푢

푦

(푧, 0 ) kemudian didapat 푣(푥,푦)