∫푓
(
푧
)
푑푧= ∫푓
(
푧
)
푑푧+ ∫푓
(
푧
)
푑푧=
퐶
2퐶
1퐶1
2
푖
Selanjutnya misalkan ingin ditentukan batas nilai mutlak integral, makaperlu dicari bilangan M sehingga ⎥ f(z)⎥ ≤ M untuk semua z Î C danpanjang lintasan L. Misalkan untuk C pada kasus (a) kita punyai danL = √2 sehingga⎥∫푓
(
푧
)
푑푧⎥
퐶≤∫⎥푓
(
푧
)
⎥푑푧≤√ 10
퐶Dari contoh 1 diatas terlihat bahwa nilai integral akan berbeda untuk lintasan
yang berbeda.
- Menghitung Integral Bebas Lintasan
Terdapat suatu keadaan khusus, bahwa integral lintasan tidak bergantungterhadap bentuk lintasannya, artinya nilai integral akan sama walaupunlintasannya berbeda asalkan ujung – ujungnya sama. Dalam hal ini integraldikatakan bebas lintasan , yang akan dijelaskan sebagai berikut.Misalkan D merupakan sub himpunan dari himpunan bilangan riel danfungsi z(t) : D → C teridentifikasi di t. Selanjutnya misalkan fungsi g (z) = u(x,y) + iv(x,y) terdiferensial di z(t).Selanjutnya perhatikan bahwa푔(푧(푡))=푢 (푥(푡),푦(푡)+푖푣(푥(푡),푦(푡))
Dan푑 [푔(푧(푡))]
푑푡
=
푑푢
푑푥
푑푥
푑푡
+
푑푢
푑푦
푑푦
푑푡
+푖 (
푑푣
푑푥
푑푦
푑푡
+
푑푣
푑푦
푑푦
푑푡
)
Dengan menerapkan persamaan Cauchy Riemann, diperoleh푑 [ 푔(푧(푡))]
푑푡
=
푑푢
푑푥
푑푥
푑푡
+
푑푣
푑푥
푑푦
푑푡
+ 푖 (
푑푣
푑푥
푑푦
푑푡
+
푑푣
푑푦
푑푦
푑푡
)
= (
푑푢푑푥+푖
푑푣푑푥)(
푑푥푑푡+푖
푑푦푑푡)
= 푔
′