Kenyataan di atas dapat digunakan untuk menghitung integral lintasansebagai berikut. Misalkan F : D → C dengan F’ (z) = f(z) di D. misalkan jugaa dan b di dalam D dan C Ì D kontur/lintasan dari a ke b. maka∫ 푓
(
푧
)
푑푧= ∫ 푓(푧
(
푡
)
)푧
′(
푡
)
푑푡,
훽퐶 훼dimana z (t) : [ α,b] → C,Z(t) = x(t) + iy(t) merupakan representasi lintasan C. Telah diketahui bahwa푑푑푡퐹 (푧
(
푡
)
)=퐹
′(푧
(
푡
)
)푧
′(
푡
)
=푓 (푧
(
푡
)
)푧′(푡), sehingga∫ 푓
(
푧
)
푑푧= ∫ 푓(푧
(
푡
)
)푧
′(
푡
)
푑푡=∫
푑푑푡훽훼퐹 (푧
(
푡
)
)푑푡
훽퐶 훼= 퐹(푧(훽))−퐹 (푧(훼))
= 퐹
(
푏
)
−퐹(푎)
Perhatikan bahwa integral hanya bergantung pada titik a dan b dan tidak peduli
pada bentuk lingkaran C. Integral ini dinamakan integral bebas lintasan (path
independent). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa integral suatu fungsi
analitik untuk suatu lintasan C di dalam pada domain terhubung sederhana D
dari titik a ke titik b adalah
∫푓(푧)푑푧=퐹(푏)−퐹 (푎)
퐶Dengan F’(z) = f (z) untuk z di D.
Dengan demikian jika C adalah lintasan tertutup maka
∫푓(푧)푑푧= 0
퐶Contoh 2.
Tentukan
∫
푍
2퐶푑푧, jika C adalah kurva y = 푧2adalah fungsi seluruh, jadi analitikuntuk semya z dan F (z) =
13푧
3. Jadi