C. TEOREMA INTEGRAL CAUCHY
A. Definisi Integral Cauchy
Integral garis dari fungsi kompleks 푓(푧) tidak hanya tergantung pada
titik akhir lintasan, tetapi juga tergantung pada titik lintasan, tetapi juga
tergantung pada pilihan lintasannya. Jika 푓(푧) analitik pada domain D
dan D secara sederhana terhubung, maka integral tidak akan
tergantung pada lintasan.
Lintasan tertutup sederhana yaitu lintasan yang tidak memotong atau
tidak menyinggung dirinya sendiri. Domain terhubungkan secara
sederhana jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam domain
melingkungi hanya titik titik dalam domain.
- Teorema 5.3.1 (Teorema Cauchy)
Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup
sederhana C di D. Jika 푓 analitik dan 푓′ kontinu pada D, maka
∫푓
(
푧
)
푑푧= 0
푐
Pembuktian :
Misalkan 푓
(
푧
)
=푢
(
푥,푦
)
+푖푣(푥,푦) dan 푓 analitik pada D. Jadi 푓′
ada untuk setiap 푧∈퐷 dan 푓
′
(푧)=푢푥(푥,푦)+푖푣푥(푥,푦)=
푣푦(푥,푦)−푖푢푦(푥,푦).
Karena 푓′ kontinu pada D maka 푢,푣,푢푥,푢푦,푣푦,푑푎푛 푣푥 semuanya
kontinu pada D. Dengan demikian 푢 푑푎푛 푣 memenuhi syara
berlakunya teorema Green yaitu :
∫
(
푢푑푥−푣푑푦
)
+푖∫
(
푣푑푥+푢푑푦
)
=∫∫(−푣
푥
−푢
푦
)푑푥푑푦+
퐷
푐
푐
푖
∫∫
(푢
푥
−푣
푦
)푑푥푑푦
퐷
Karena 푢 푑푎푛 푣 memenuhi Persamaan Cauchy Riemann pada D,
maka integral lipat dua diruas kanan menjadi nol. Sedangakan
diruas kiri adalah rumus untuk
∫
푓(푧)푑푧 푗푎푑푖
∫
푓(푧)푑푧= 0
푐
푐
Contoh soal :
Jika C keliling lingkaran
|
푧
|
= 2 maka ∫
푑푧
푧
2
− 9
푐
= 0. Buktikan
Penyelesaian :
푓
(
푧
)
=
1
푧
2
− 9
adalah fungsi analitik didalam C
푓′(푧)=
− 2 푧
(푧
2
− 9 )
2
juga kontinu didalam C
Maka menurut teorema Cauchy adalah ∫푓
(
푧
)
푑푧= 0
푐
- Persamaan Integral Cauchy
Jika f(z) analitik didalam dan pada suatu kurva tertutup C dan titik
푧
0
didalam C, maka 푓
(
푧
0
)
=
1
2 휋푖
∮
푓
(
푧
)
푧−푧
0
푑푧
푐
Pembuktian
