BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

(Jenriani Astutiyk9Clq) #1

8

=푖+


2

+


3

+


4

+


5

+


6

+


7

+


8

>푖+


2

+


4

+


4

+


8

+


8

+


8

+


8

=푖+

3 푖

2


16

=푖+


2

+


3

+


4

+


5

+⋯+


9

+⋯+


16

>푖+


2

+


4

+


4

+


8

+


8

+


8

+


8

+


16

+⋯+⋯


16

=푖+

4 푖

2

Dengan cara sama secara umum diperoleh


2


>푖

푛푖

2

.

Karena 푆

2


>∞ jika 푛>∞ , hal ini berarti bahwa {푆


} divergen.

Contoh:

Dari batasan (

5 푖

2


)=

5 푖

2

,

5 푖

4

,

5 푖

8

,... dibentuk deret


5 푖

2



푛= 1

. Tentukanlah


apakah deret tersebut konvergen atau divergen!

Jawab:

lim

푛→∞



=


5 푖

2



푛= 1

=


5 푖


푛= 1

(

1

2

1

+

1

2

2

+

1

2

3

+⋯+

1

2


+⋯ )

Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri

dengan suku pertama 푎=

1

2

dan 푟=

1

2

dan jumlah tak hingganya

adalah


1 −푟

= 1.

Maka diperoleh limit lim

푛→∞



= 5 푖. Jadi deret ∑

5 푖

2



푛= 1

konvergen ke 5 푖.

Teorema 2:

Jika suatu deret ∑푧


konvergen, maka 푧


= 0.

Bukti:

Dari definisi mengenai deret ∑푧


konvergen jika 푙푖푚푆


ada.

Karena 푧


=푆


=푆

푛− 1

, maka 푙푖푚푧


=푙푖푚푆


−푙푖푚푛− 1 = 0.

Tidak seperti halnya barisan dalam menentukan konvergensi dan

divergensi.

a. Sifat-sifat deret


1) Jika deret 푆


=∑ 푧



1

konvergen maka lim

푛→∞



= 0 (sebaliknya

tidak berlaku)

2) Jika deret 푆


=





1

,lim

푛→∞



≠ 0 , maka deret divergen (akibat

logis dari (1))

3) Jika deret 푆


=





1

,푧


≥ 0 dan mempunyai batas atas maka

deretnya konvergen.
Free download pdf