푆
8
=푖+
푖
2
+
푖
3
+
푖
4
+
푖
5
+
푖
6
+
푖
7
+
푖
8
>푖+
푖
2
+
푖
4
+
푖
4
+
푖
8
+
푖
8
+
푖
8
+
푖
8
=푖+
3 푖
2
푆
16
=푖+
푖
2
+
푖
3
+
푖
4
+
푖
5
+⋯+
푖
9
+⋯+
푖
16
>푖+
푖
2
+
푖
4
+
푖
4
+
푖
8
+
푖
8
+
푖
8
+
푖
8
+
푖
16
+⋯+⋯
푖
16
=푖+
4 푖
2
Dengan cara sama secara umum diperoleh
푆
2
푛
>푖
푛푖
2
.
Karena 푆
2
푛
>∞ jika 푛>∞ , hal ini berarti bahwa {푆
푛
} divergen.
Contoh:
Dari batasan (
5 푖
2
푛
)=
5 푖
2
,
5 푖
4
,
5 푖
8
,... dibentuk deret
∑
5 푖
2
푛
∞
푛= 1
. Tentukanlah
apakah deret tersebut konvergen atau divergen!
Jawab:
lim
푛→∞
푆
푛
=
∑
5 푖
2
푛
∞
푛= 1
=
∑
5 푖
∞
푛= 1
(
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
3
+⋯+
1
2
푛
+⋯ )
Bagian ruas kanan yang didalam kurung merupakan deret geometri
dengan suku pertama 푎=
1
2
dan 푟=
1
2
dan jumlah tak hingganya
adalah
푎
1 −푟
= 1.
Maka diperoleh limit lim
푛→∞
푆
푛
= 5 푖. Jadi deret ∑
5 푖
2
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 5 푖.
Teorema 2:
Jika suatu deret ∑푧
푛
konvergen, maka 푧
푛
= 0.
Bukti:
Dari definisi mengenai deret ∑푧
푛
konvergen jika 푙푖푚푆
푛
ada.
Karena 푧
푛
=푆
푛
=푆
푛− 1
, maka 푙푖푚푧
푛
=푙푖푚푆
푛
−푙푖푚푛− 1 = 0.
Tidak seperti halnya barisan dalam menentukan konvergensi dan
divergensi.
a. Sifat-sifat deret
1) Jika deret 푆
푛
=∑ 푧
푛
∞
1
konvergen maka lim
푛→∞
푧
푛
= 0 (sebaliknya
tidak berlaku)
2) Jika deret 푆
푛
=
∑
푧
푛
∞
1
,lim
푛→∞
푧
푛
≠ 0 , maka deret divergen (akibat
logis dari (1))
3) Jika deret 푆
푛
=
∑
푧
푛
∞
1
,푧
푛
≥ 0 dan mempunyai batas atas maka
deretnya konvergen.