BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Karena 퐿=lim

푛→∞

푈

푛+ 1

푈

푛

, maka untuk setiap 푛≥푁 berlaku ∣

푈

푛+ 1

푈

푛

−퐿∣<휖

sehingga

푈

푛+ 1

푈

푛

−퐿+휖 dank arena 휖=푟−퐿 maka 푈

푛+ 1

<푟푈

푛

untuk

푛≥푁.

Kita memperolehpertidaksamaan sebagai berikut:

푈

푁+ 1

<푟푈

푁

푈

푁+ 2

<푟푈

푁+ 1

+푟

2

푈

푁

(i)

푈

푁+ 3

<푟푈

푁+ 2

+푟

2

푈

푁

.....................................

Diketahui 퐿<푟< 1 dan 퐿 tidak mungkin bernilai negatif maka ∣푟∣<

1 , sehingga 푟푈
푁

+푟

2

푈

푁

+푟

3

푈

푁

adalah derajat geometri yang

konvergen. Dari ketidaksamaan (i) dan teorema uji banding maka

deret

∑

푈

푛

∞

푛=푁+ 1

=푈

푁+ 1

+푈

푁+ 2

+푈

푁+ 3

........., juga konvergen. Jadi

terbukti bahwa

∑

푈

푛

∞

푛=푁+ 1

=푈

1

+푈

2

+푈

3

+⋯+푈

푛

+⋯ konvergen.

b. Andaikan 퐿> 1 dan 휖=퐿− 1 adalah bilangan positif. Karena 퐿=

lim

푛→∞

푈

푛+ 1

푈

푛

, maka setiap 휖> 0 adalah bilangan positif 푁 sedemikian

hingga untuk setiap 푛≥푁. Karena 휖=퐿− 1 maka 푈

푛+ 1

>푈

푛

untuk 푛≥푁. Kita memperoleh ketidaksamaan sebagai berikut ini:

푈

푁+ 1

>푈

푁

푈

푁+ 2

>푈

푁+ 1

+푈

푁

푈

푁+ 3

>푈

푁+ 2

+푈

푁

...............

Karena 푈

푛

>푈

푁

> 0 untuk 푛≥푁 dan lim

푛→∞

푈

푛

≠ 0 sehingga

menurut uji divergensi maka ∑ 푈

푛

∞

푛= 1

=푈

1

+푈

2

+푈

3

+⋯+푈

푛

+

devergen.

c. Perhatikan deret ∑

1

푛

∞

푛= 1

dan ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

. Keduanya mempunyai 퐿= 1

karena deret yang pertama adalah deret harmonis yang divergen

dan deret yang kedua adalah deret-L yang konvergen, maka ujii

rasio tak dapat menentukan kekonvergenan dari deret 퐿= 1

Contoh:

Tunjukan bahwa deret ∑

( 2 + 2 푖)

푛

푛!

∞

푛= 1

Konvergen dengan

menggunakan uji ratio.

Penyelesaian:

Misalkan 푍

푛

=

( 2 + 2 푖)

푛

푛!

, maka 푍

푛+ 1

=

( 2 + 2 푖)

푛

(푛+ 1 )!

Diperoleh,