BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

... ... ... ...

Sehingga ∑ 1

푛

= 1 + 1 + 1 +⋯

∞

푛= 1

dan lim

푛→∞

1

푛

≠ 0 , maka

menurut uji divergensi ∑ 1

∞ 푛

푛= 1

divergen. Karena 1

푛

>푈

푛

untuk

푛≥푁 dan diketahui ∑ 1

∞ 푛

푛= 1

divergen maka menurut uji

banding diperoleh ∑ 푈

푛

∞

푛= 1

divergen.

c. Perhatikan deret ∑

1

푛

∞

푛= 1

dan ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

. Keduanya mempunyai

퐿= 1 karena deret yang pertama adalah deret harmonis yang

divergen dan deret yang kedua adalah deret-L yang

konvergen, maka ujii rasio tak dapat menentukan

kekonvergenan dari deret 퐿= 1

Contoh:

Tunjukan bahwa deret

∑

푛+ 1

2

푛

.푛

∞

푛= 1

Konvergen dengan

menggunakan uji akar.

Penyelesaian:

Berikut akan dipaparkan menggunakan uji akar. Kesimpulan

dari uji akar ini sama dengan uji rasio.

휌= lim

푛→∞

√

푛+ 1

2

푛

.푛

푛

=lim

푛→∞

1

2

(

푛+ 1

푛

)

1

푛

Perhatikan bentuk

푛+ 1

푛

di atas, jika 푛→∞ maka

푛+ 1

푛

= 1.

Perhatikan juga bentuk

1

푛

. Jika 푛→∞ maka

1

푛

= 1 , sehingga

limit diatas memiliki bentuk:

lim

푛→∞

1

2

(

푛+ 1

푛

)

1

푛

=

1

2

× 1

0

=

1

2

Karena nilai limitnya < 1 , maka deret ∑

푛+ 1

2

푛

.푛

∞

푛= 1

konvergen.

3. Uji Integral

Andaikan

∑

푍

푛

∞

푛= 1

adalah deret suku-suku tak negatif dan andaikan

bahwa fungsi 푦=푓(푥) didapat dari pengganti n pada suku umum

deret dengan peubah kontinu x, maka deret

∑

푍

푛

∞

푛= 1

akan konvergen

jika hanya jika ∫ 푓

(

푥

)

푑푥

∞

1

juga konvergen.

Dari kalkulus:

∫푓

(

푥

)

푑푥

∞

푎

=lim

푏→∞

∫푓

(

푥

)

푑푥

푏

푎

Apabila limit pada ruas kanan bernilai terhingga, maka integral tak

wajar tersebut konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit

tadi. Jika tidak maka integral tersebut divergen.

Contoh: