Tunjukan bahwa deret ∑
1
푛
2
∞
푛= 1
merupakan deret konvergen dengan
melakukan uji integral.
Penyelesaian:
Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil
perhitungan 퐿= 1 , dengan demikian kita tidak dapat menentukan
apakah deret tersebut konvergen atau divergen dengan uji rasio.
Inilah saaatnya menggunakan uji integral. Lihat penjelaasan teori
diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n menjadi peubah
kontinu x sehingga diperoleh 푓
(
푥
)
=
1
2
. Kita lakukan pengintegralan
terhadap fungsi kontinu ini.
∫
1
푥
2
푑푥
∞
푎
=
1
푥
=−(
1
∞
−
1
1
)=−( 0 − 1 )= 1
Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) dengan demikian
deret ∑
1
푛
2
∞
푛= 1
konvergen.
- Uji Banding
Diberikan ∣푧
푛
∣≤∣푤
푛
∣ untuk setiap 푛∊푁
(a). Jika
∑
∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen, maka
∑
∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen
(mutlak)
(b). Jika
∑
∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
divergen, maka
∑
∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
divergen.
Bukti:
(a). Diketahui ∣푧
푛
∣≤∣푤
푛
∣ dan
∑
∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen.
Akan dibuktikan ∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen mutlak. Misalkan {푆
푛
} adalah
barisan jumlah bagian untuk deret ∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
dan {푇
푛
} adalah barisan
jumlah bagian untuuk deret ∑ ∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
. Karena ∑ ∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen, berarti terdapat bilangan real 푀 sehingga ∣푇
푛
∣≤푀,
karena ∣푧
푛
∣≤∣푤
푛
∣, diperoleh 푆
푛
≤푇
푛
≤푀 untuk setiap 푛∊푁.
Karena barisan {푆
푛
} sebagai jumlah bagian dari deret ∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
,
sehingga berlaku 푆
푛
≤푀 untuk suatu bilangan real 푀. Akibatnya
∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen.
(b). Diketahui Diketahui ∣푧
푛
∣≤∣푤
푛
∣ dan ∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
divergen.
Akan dibuktikan
∑
∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
divergen. Andaikan deret
∑
∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen, karena ∣푍
푛
∣≤∣푤
푛
∣ sehingga dari (a) diperoleh barisan
deret ∑ ∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
konvergen. Hal ini bertentangan dengan hipotesis
yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret
∑ ∣푤
푛
∣
∞
푛= 1
divergen.
Contoh :
Ujilah kekonvergenan deret
1
2
+
1
5
+
1
10
+
1
17
+⋯+
1
푛
2
+ 1
+⋯ dengan
menggunakan uji banding.
Penyelesaian: