BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Tunjukan bahwa deret ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

merupakan deret konvergen dengan

melakukan uji integral.

Penyelesaian:

Coba lakukan pengujian dengan uji rasio, maka akan diperoleh hasil

perhitungan 퐿= 1 , dengan demikian kita tidak dapat menentukan

apakah deret tersebut konvergen atau divergen dengan uji rasio.

Inilah saaatnya menggunakan uji integral. Lihat penjelaasan teori

diatas mengenai uji integral. Kita ubah notasi n menjadi peubah

kontinu x sehingga diperoleh 푓

(

푥

)

=

1

2

. Kita lakukan pengintegralan

terhadap fungsi kontinu ini.

∫

1

푥

2

푑푥

∞

푎

=

1

푥

=−(

1

∞

−

1

1

)=−( 0 − 1 )= 1

Integral fungsi ini bersifat konvergen (ada hasilnya) dengan demikian

deret ∑

1

푛

2

∞

푛= 1

konvergen.

4. Uji Banding

Diberikan ∣푧

푛

∣≤∣푤

푛

∣ untuk setiap 푛∊푁

(a). Jika

∑

∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen, maka

∑

∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen

(mutlak)

(b). Jika

∑

∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

divergen, maka

∑

∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

divergen.

Bukti:

(a). Diketahui ∣푧

푛

∣≤∣푤

푛

∣ dan

∑

∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen.

Akan dibuktikan ∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen mutlak. Misalkan {푆

푛

} adalah

barisan jumlah bagian untuk deret ∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

dan {푇

푛

} adalah barisan

jumlah bagian untuuk deret ∑ ∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

. Karena ∑ ∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen, berarti terdapat bilangan real 푀 sehingga ∣푇

푛

∣≤푀,

karena ∣푧

푛

∣≤∣푤

푛

∣, diperoleh 푆

푛

≤푇

푛

≤푀 untuk setiap 푛∊푁.

Karena barisan {푆

푛

} sebagai jumlah bagian dari deret ∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

,

sehingga berlaku 푆

푛

≤푀 untuk suatu bilangan real 푀. Akibatnya

∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen.

(b). Diketahui Diketahui ∣푧

푛

∣≤∣푤

푛

∣ dan ∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

divergen.

Akan dibuktikan

∑

∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

divergen. Andaikan deret

∑

∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen, karena ∣푍

푛

∣≤∣푤

푛

∣ sehingga dari (a) diperoleh barisan

deret ∑ ∣푧

푛

∣

∞

푛= 1

konvergen. Hal ini bertentangan dengan hipotesis

yang diketahui jadi pengandaian di atas salah, haruslah deret

∑ ∣푤

푛

∣

∞

푛= 1

divergen.

Contoh :

Ujilah kekonvergenan deret

1

2

+

1

5

+

1

10

+

1

17

+⋯+

1

푛

2

+ 1

+⋯ dengan

menggunakan uji banding.

Penyelesaian: