Diketahui:
Bentuk umum deret diatas adalah
1
푛
2
+ 1
,
1
푛
2
+ 1
=푧
푛
Kita buat fungsi pembandingnya yaitu
1
푛
2
=푤
푛
Sehingga berdasarkan definisinya adalah
1
푛
2
+ 1
<
1
푛
2
Kemudian deret ∑
1
푛
2
∞
푛= 1
konvergen.
Bukti:
∑
1
푛
2
∞
푛= 1
=lim
푛→∞
1
푛
2
Gunakan integral, maka:
푓(푥)=
1
푥
2
∫
1
푥
2
푑푥=
∞
1
∫ 푥
− 2
푑푥
∞
1
=−(
1
∞
−
1
1
)=−
(
0 − 1
)
= 1 (Terbukti)
Karena ∑
1
푛
2
∞
푛= 1
konvergen, maka berdasarkan uji banding diperoleh
bahwa deret
∑
1
푛
2
+ 1
∞
푛= 1
juga konvergen.
- Uji Konvergensi
Diberikan deret bilangan kompleks ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
dengan 푧
푛
=푥
푛
+푖푦
푛
∶
푥
푛
,푦
푛
∊푹
(a)
∑
푧
푛
∞
푛= 1
konvergen jika dan hanya jika
∑
푥
푛
∞
푛= 1
dan
∑
푦
푛
∞
푛= 1
konvergen.
(b) jika
∑
푧
푛
∞
푛= 1
konvergen, maka lim
푛→∞
푧
푛
= 0.
(c) jika ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
konvergen mutlak, maka ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
konvergen,
artinya jika
∑
∣푧
푛
∣
∞
푛= 1
maka
∑
푧
푛
∞
푛= 1
konvergen.
Teorema di atas hanya akan dibuktikan bagian (a) dan (b),
sedangkan bagian (c) diberikan kepada para pembaca sebagai
latihan.
Bukti (a):
(⟹) misalkan deret ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 푎+푖푏, sehingga ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
=
푎+푖푏. Akan ditunjukan bahwa deret
∑
푥
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 푎 dan
deret
∑
푦
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 푏. Menurut definisi diperoleh,
∑
푧
푛
∞
푛= 1
=
lim
푛→∞
푆
푛
=lim
푛→∞
(
∑
푥
푘
+
∑
푦
푘
)=푎+푖푏
∞
푛= 1
∞
푛= 1
Akibatnya diperoleh,
lim
푛→∞
∑
푥
푘
=푎
∞
푛= 1
dan lim
푛→∞
∑
푦
푘
=푏
∞
푛= 1
Karena ∑ 푥
푘
∞
푛= 1
dan ∑ 푦
푘
∞
푛= 1
berturut-turut merupakan jumlah bagian
dari
∑
푥
푛
∞
푛= 1
dan
∑
푦
푛
∞
푛= 1
, maka
∑
푥
푛
∞
푛= 1
dan
∑
푦
푛
∞
푛= 1
konvergen.