= 푐
0+푐
1(
푥−푎
)
+푐
2(푥−푎)
2+푐
3(푥−푎)
3+푐
4(푥−푎)
4+⋯
Untuk semua 푥 dalam suatu selang sekitar 푎. Maka diperoleh
푐
푛=
푓
(푛)(푎)
푛!
Bentuk koefisiensi 푐
푛
mengingatkan pada koefisien yang terdapat dalamrumus Taylor. Oleh karena itu, Deret pangkat dari (푥−푎) yang
menggambarkan sebuah fungsi dinamakan Deret Taylor. Apabila 푎=
0 , Deret yang bersangkutan disebut Deret Maclaurin.
Kekonvergenan Deret Taylor
Walaupun dengan uraian panjang lebar di atas, masih saja ada pertanyaan
yang hingga saat ini belum terjawab. Yaitu apabila diketahui sebuah fungsi
푓, dapatkah menggambarkannya sebagai sebuah deret pangkat dalam 푥−
푎 (yang tentunya adalah Deret Taylor)?
Teorema B : Rumus Taylor dengan sisa
Andaikan 푓 sebuah fungsi yang mana turunan ke - (푛+ 1 ) yaitu 푓
푛+ 1(푥)
ada untuk setiap 푥 dalam interval terbuka 퐼 yang mengandung 푎. Maka,
untuk setiap 푥 dalam 퐼.
푓
(
푥
)
=푓
(
푎
)
+푓
′(
푎
)(
푥−푎
)
+
푓"(푎)
2!
(푥−푎)
2+⋯+
푓
(푛)(
푎
)
푛!
(
푥−푎
)
푛+푅
푛(푥)
Dimana sisa (error) 푅
푛(x) diberikan oleh rumus :푅
푛(
푥
)
=
푓
(푛+ 1 )(푐)
(
푛+ 1
)
!
(푥−푎)
푛+ 1Dan 푐 adalah titik antara 푥 dan 푎.
Teorema C : Teorema Taylor
Andaikan 푓 sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkatan
dalam satu selang (푎−푟,푎+푟). Syarat yang perlu dan cukup agar Deret
Taylor
푓(푎)+푓
′(푎)(푥−푎)+
푓"(푎)
2!
(푥−푎)
2+⋯+
푓
′′′(푎)
3!
(푥−푎)
3+⋯
Menggambarkan fungsi 푓 pada selang itu, ialah
lim푛→∞푅
푛(
푥
)
= 0
Dengan 푅
푛
(푥) suku sisa dalam Rumus Taylor, yaitu :