BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

dengan, koefisien deret diberikan oleh rumus berikut :

푎

푛

=

1

2 휋푖

∫

푓(푧)

(푧−푧

0

)

푛+ 1

푑푧

푘

, 푛= 0 , 1 , 2 ,...

dan

푏

푛

=

1

2 휋푖

∫

푓(푧)

(푧−푧

0

)

−푛+ 1

푑푧

푐

, 푛= 0 , 1 , 2 , 3 ,...

dimana, 퐾:

|

푧−푧

0

|

=휌 dan 퐶:

|

푧−푧

0

|

=푟, keduanya berorientasi

positif.

Apabila fungsi 푓(푧) tidak analitik di 푧=푧

0

maka 푓(푧) tidak dapat

diperderetkan dalam deret Taylor di 푧=푧

0

. Masalah ini tentunya

dapat diselesaikan dengan cara membuang titik singular 푧=푧

0

dari

daerah |푧−푧

0

|<푅 sehingga diperoleh daerah 푅

1

<|푧−푧

0

|<푅

2

(cincin/anulus) yang merupakan daerah keanalitikan fungsi 푓(푧).

Misalkan, 푓(푧) tidak analitik di 푧=푧

0

tetapi analitik pada anulus

푅

1

<

|

푧−푧

0

|

<푅

2

. Maka, fungsi 푓(푧) dapat diperderetkan di 푧=푧

0

menjadi bentuk deret Laurent seperti berikut :

풇(푧)=∑푎

푛

(푧−푧

0

)

푛

+

∞

푛= 0

∑

푏

푛

(푧−푧

0

)

푛

∞

푛= 1

...... 푅

1

<|푧−푧

0

|<푅

2

dengan :

푎

푛

=

1

2 휋푖

∫

푓(푧)

(푧−푧

0

)

푛+ 1

푑푧

푘

, 푛= 0 , 1 , 2 ,...

푏

푛

=

1

2 휋푖

∫

푓(푧)

(푧−푧

0

)

−푛+ 1

푑푧

푐

, 푛= 0 , 1 , 2 , 3 ,...

Penguraian deret pada teorema tersebut di atas dinamakan

deret Laurent 풇 pada 푐 dan anulus terbuka 푟<|푧−푐|<휌

dinamakan anulus konvergensi deret. Deret dapat juga dituliskan

seperti bentuk berikut :

∑ 푐

푛

(푧−푐)

푛

∞

푛=−∞

dengan koefisiennya diberikan oleh rumus :

푐

푛

=

1

2 휋푖

∫

푓(푧)

(푧−푐)

푛+ 1

푑푧

푟

, 푛= 0 ,± 1 ,± 2 ,...