150 COMPARAÇÃO DE VÁRIAS MÉDIAS
então a condição necessária e suficiente para que x! e x! sejam independentes é que
v = v 1 + v 2 • Essa propriedade é de imediata generaliza'.ção a^2 uma soma de um número fi-
nito de variáveis x2.
7 .2 Uma classificação - amostras de mesmo tamanho
Vamos considerar que temos k amostras de tamanho n, retiradas de k populações cujas
médias μi (i = 1, 2, ... , k) queremos comparar. Vamos, pois, testar a hipótese
(7.2)contra a alternativa de que pelo menos uma das médias populacionais seja diferente.
Note-se que, se considerarmos as médias μi sob a formaμ+ Di, i = 1, 2, ... , k, poderemos
formular, alternativamente,
(7.3)São hipóteses implícitas básicas à aplicação do modelo que vamos estudar as de que as
k populações tenham a mesma variância u2-(condição de homocedasticidade) e que a variável
de interesse seja normalmente distribuída em todas as populações. Isso equivale a dizer que
a hipótese H 0 testada é a de que todos os valores experimentais são igualmente distribuídos.
Entretanto o método é robusto; quer dizer, mesmo com algum afastamento das hipóteses
básicas ainda leva a resultados válidos com razoável aproximação.
Por outro lado, devemos considerar a diferenciação entre os chamados modelo.fixo e
modelo aleatón'o da Análise de Variância. A fim de esclarecer a diferença existente entre as
duas situações, imaginemos que as k populações que vão ser comparadas quanto a suas
médias resultem da aplicação de k diferentes tratamentos sobre os elementos em estudo.
Queremos, portanto, saber se aceitamos ou rejeitamos a hipótese de que todos os tratamentos
produzem, em média, o mesmo efeito. Ora, pode ocorrer que os k tratamentos representem
a totalidade dos tratamentos que nos interessa examinar; mas também pode ocorrer que os
k tratamentos utilizados sejam apenas uma amostra aleatória de uma população de possíveis
tratamentos. Note-se que, em ambos os casos, desejamos fazer uma indução sobre a
população de tratamentos, mas existe uma diferença básica de situações. No primeiro caso,
temos o modelo fixo da Análise de Variância; no segundo, o modelo aleatório. Note-se
também que, se o experimento objeto da Análise de Variância precisasse ser repetido, no
primeiro caso os mesmos tratamentos seriam aplicados, ao passo que, no segundo,
deveríamos ter uma outra amostra aleatória de tratamentos para que a indução fosse
conduzida de acordo com a condição real. Entretanto, embora ambos os casos mencionados
sejam diversos em essência, o modelo da Análise de Variância conduz em geral a uma
mesma montagem formal da solução do problema e, por essa razão, não nos aprofundaremos
mais na questão, por ora.
Vamos usar a notação segundo a qual xu (i = 1, 2, ... , k;j = 1, 2, ... , n) é o }-ésimo
valor da i-ésima amostra de n elementos, e:1t = I.j= 1 xg = soma dos valores dai -ésima amostra;
Qi = I. ~-=l xffi = soma dos quadrados dos valores dai -ésima amostra;
T = I.t= 1 T1 = I.t 1 I.j= 1 x!i = soma total dos valores;
Q = I.t= 1 Qi = I.t= 1 I.j= 1 xffi = soma total dos quadrados;
xi = 1t I n = média da i -ésima amostra;