UMA CLASSIFICAÇÃO - AMOSTRAS DE MESMO TAMANHO 151
A Análise de Variância baseia-se em que, sendo verdadeira a hipótese H 0 , existem três
maneiras pelas quais a variância a^2 comum, implicitamente, a todas as populações, pode
ser estimada. As três estimativas possíveis são apresentadas a seguir.Estimativa total s}
Essa estimativa é obtida considerando-se as k amostras reunidas em uma só, cuja variância
s}é calculada. Isso fornecerá uma estimativa válida de a^2 se e somente se a hipótese H 0 for
verdadeira, pois então todas as populações serão identicamente distribuídas (normais de
mesma média e mesma variância), tendo sentido fundir as k amostras em uma só.
A estimativa total de a^2 será dada pors2 - It1 LJ=1(Xg -x)2 -Lf:1 Lj=l xj-[(L7=1 LJ=l Xg)^2 / nk] -Q-T^2 / nk [^2 ]
r - nk-1 - nk-1 - nk-1 (^7 .4)Ao numerador de s} denominaremos soma de quadrados total, ou SQT.Estimativa entre amostras si,
Vimos acima que, sendo verdadeira a hipótese H 0 , podemos considerar todos os valores
xu como provenientes de uma única população. Nas mesmas condições, podemos também
considerar as médias xi das k amostras como uma amostra de k valores retirados da população
dos possíveis valores de x. Ora, sabemos que a população de valores de x é normalmente
distribuída com variância a2!n. Logo, a variância da amostra formada pelos k valores xi
estima a2!n. Temos, pois, a segunda estimativa de a2, que será n vezes a variância dessa
amostra, ou seja,
2 r7=1(xi-.x)^2 !![~~ -?_(r7=txi)^2 ]-
sE-n k-1 -k-1 "-'1=1X1 k -
= nk [r~ ( Jr )^2 _ T^2 l = L7=t T/ I n-T^2 / nk
k-1^1 =^1 n n^2 k k-1.
(7.5)Ao numerador de s} denominaremos soma de quadrados entre amostras, ou SQE.Estimativa residual si
Evidentemente, a variância comum a2 pode ser também estimada individualmente a
partir dos elementos de cada uma das k amostras disponíveis, ou seja, dentro de cada
amostra. Teríamos, portanto, k estimativas individuais de a2, todas elas válidas, indepen-
dentemente da veracidade ou não de H 0 • Ora, vimos em 4.3.5 que podemos construir uma
estimativa única de a2 combinando as k estimativas. Cada amostra individual fornecerá
uma estimativa, dada por
2 LJ=1(xu -xd LJ=t xj-(r 1 =1 xu )^2 / n Qi -T/ I n
Si= n- 1 = n- 1 = n- 1 (7.6)l^2 l Notar que a passagem aqui realizada é a mesma utilizada no Cap. 2, da expressão (2.10) para a (2.12).