Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

A imposição do critério de mínimos quadrados leva ao seguinte sistema:

!

LJ=t y J :::; na+ bi I.x1J + l>i. I.x2J,

I.j= 1 xlJy J:::; aI,xlJ + bi I.xf 1 + l>i. I.x1JX21 ,

I.j= 1 X21Y J:::; aI.x21 + bi I.x1JX21 + l>i. I.x?J"

De forma semelhante, no caso geral, em que a equação procurada é da forma

y:::; a+b 1 x 1 +bzx 2 +···+bkxk,

207

(8.48)

(8.49)

equação de um hiperplano no espaço a k + 1 dimensões, chegaríamos a um sistema cuja
primeira equação seria

I.y 1 :::; na+ b 1 I.xv + ... + bk I.x,ti,

:.a <Y-b1i1 -bzi2 -···-bkik.

As demais k equações seriam da forma

Ix1j~ :::; a Ixv + bi Ixtj + bi Ixljx2j +··· +bk Ixvx.y-,

Ix 2 j _)'J,:::; aix 2 j + b 1 Ixvx 2 j + b 2 Ix;j + ···+ bk Ix 2 jx.y-,

(8.50)

(8.51)

Se, agora, ao invés de trabalharmos comY.i e xu, usarmosY.i-y e xu-x;, teremos a:::; O,

permanecendo inalterados os b;, pois uma simples translação não afeta os coeficientes do
hiperplano de regressão. Usando uma notação semelhante à introduzida em (8.4) e (8.5),
podemos, portanto, escrever o sistema (8.51) na forma

ou, mais condensadamente,

[

Sty:::; b1S11 +bzS12 + .. · +bkSlk,

~2y:::; b1S21 + bzS22 + .. · + bks2k•

s11,y:::; b1sk1 +bzSk2 + .. ·+bkskk.

(8.52)

(8.53)

A solução de tal sistema, exceto quando k é muito pequeno, é, em geral, impraticável
sem o auxílio de computador.

Pode-se observar, outrossim, que o problema da regressão polinomial pode ser tratado

como um caso particular desse que analisamos agora, considerando-se x 1 :::; x, x 2 :::; x2, ... ,

Xk:::; xk, embora a situação real em cada caso seja diferente.