Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto - Estatística (2002, Editora Blucher) - libgen.lc

DISTRBIUIÇÕES AMOSTRAIS 51

Por outro lado, temos também, de (3.13) e da propriedade expressa em (Al.40), que

4 4 2 4

ª2 s2 =-ª-a2 z =-ª-2n-1 =_!!__.

( ) (n-1) 2 (Xn-i) (n-1) 2 ( ) n-1 (3.19)

3.4.5 Distribuições t de Student 1141

Suponhamos que, a partir de uma amostra de n valores retirados de uma população normal

de média μ e desvio-padrão a, fosse definida a estatística

Z=--x-μ

0" / ..fii

(3.20)

Como a distribuição amostral de x seria precisamente normal, com média μ e desvio-

padrão al...fii, segue-se que essa estatística teria simplesmente distribuição normal reduzida,

o que justifica o uso do símbolo z em ( 3. 2 O).

Entretanto, se usarmos em (3.20) o desvio-padrão da amostra, obteremos uma estatística

cuja distribuição não mais é normal. De fato, conforme mostrou Student, a estatística

(3.21)

distribui-se simetricamente, com média O, porém não normalmente. É claro que, para

amostras grandes, sx deve ser próximo de a, e as correspondentes distribuições t devem

estar próximas da normal reduzida. Vemos, pois, que existe uma família de distribuições t

cuja forma tende à distribuição normal reduzida quando n cresce. Note-se que a estatística

definida em (3.21) tem n - 1 graus de liberdade, o que justificaria sua denotação por tn-1-

A Fig. 3.4 procura ilustrar comparativamente uma distribuição t e a distribuição nor-

mal reduzida z. Vemos que uma distribuição t genérica é mais alongada que a normal

reduzida.

Por outro lado, a Tab. A6.3 fornece valores de tem função de diversos valores do

número de graus de liberdade v e de probabilidades notáveis, correspondentes à cauda à

Figura 3. 4 Distribuição t e distribuição

normal reduzida.

o

P^4 l W. S. Gosset, estatístico inglês que publicou seus trabalhos sob o pseudônimo de Student.

z, t.