ESTIMACÃO POR PONTO 63
4.2.3 Exercícios de aplicação**
- Modifique a expressão (4.6) para o caso de extrações sem reposição e determine, nesse
caso, a estimativa de máxima verossimilhança para S. - Escreva as expressões genéricas das funções de verossimilhança de amostras de n
elementos extraídas de populações com distribuição:
a) binomial (n, p);
b) de Poisson (μ);
c) normal (μ, a);
d) exponencial (Ã.). - Mostre que, para populações normais: (a) se a variância d2 é conhecida, x é o estimador
de máxima verossimilhança deμ; (b) seμ é conhecida, Li(xi-μ)^2 /n é o estimador de
máxima verossimilhança de d2. [Sugestão: maximize o logaritmo da função de
verossimilhança, em cada caso.] - Sabe-se que, de quatro aparelhos retirados de uma linha de produção, três não apre-
sentaram qualquer defeito. Admitindo-se que o número de defeitos por aparelho se
distribua segundo o modelo de Poisson, qual a estimativa de máxima verossimilhança
para o número médio de defeitos por aparelho produzido?
4.3 ESTIMAÇÃO POR PONTO
A estimação por ponto consiste em, conforme já mencionado, fornecer a melhor estimativa
possível para o parâmetro. Este será, pois, estimado através de um valor único, o qual
corresponde a um ponto sobre o eixo de variação da variável.Para proceder à estimação por ponto, portanto, devemos escolher o melhor estimador
possível, colher a amostra e, em função de seus elementos, verificar a estimativa obtida.
Damos a seguir algumas considerações sobre os procedimentos para a estimação por ponto
dos parâmetros usuais.4.3.1 Estimação por ponto da média da população
o melhor estimador de que dispomos para a média da população é a média da amostra x.
Com efeito, x é um estimador justo deμ, pois, conforme vimos no Cap. 3, μ(x) =μ.Sendo
justo, x será também consistente, pois, no caso de população infinita ou amostragem com
reposição, resulta de (3.3) que
2
limn➔_ a^2 (.f) = limn--+-~ =O. (4.9)
n
Por outro lado, no caso de amostragem sem reposição de população finita, chegamos a
um resultado idêntico, pois, de (3.5), temos que
li mn--+N O' 2(-) X = 1· lmn--+N n 0'2 N N --n 1 = O. (4.10)
Pode-se também demonstrar que x é eficiente e suficiente como estimador de μ. Outros
estimadores poderiam ser considerados paraμ, todos, porém, de menor eficiência. Na prática,
usa-se, às vezes, a mediana da amostra, especialmente quando a média x não pode ser
calculada ( caso de classes abertas nos extremos). A mediana da amostra é um estimador