224 Vector and complex-number methods Ch. 11
Thenp^24 +q^24 =p^24 +((p 1 − 1 )
q 1)^2 p^24 ,p^24 +q^24
q 4=
p^24
q 4(
1 +(
p 1 − 1
q 1)^2
)
=p 4.−q 1
p 1 − 1(
1 +(
p 1 − 1
q 1)^2
)
=
2 p 1 − 1
p 11
1 +(p^1 q− 11 )^2−q 1
p 1 − 1(
1 +(
p 1 − 1
q 1)^2
)
=−
2 p 1 − 1
p 1q 1
p 1 − 1.
By (11.6.4) the circumcentreZ( 16 iii)of[Z 4 ,Z 8 ,Z 18 ]wherez 4 =z 8 +(p 4 +q 4 ı)(z 18 −z 8 )is given by
z( 16 iii)=z 8 +^12[
1 +
p^24 +q^24
q 4ı−p 4
q 4ı]
(z 18 −z 8 )=z 8 +^12⎡
⎣ 1 +
p^24 ( 1 +(p^1 −^1 )2
q^21 )
q 4ı+q 1
p 1 − 1ı⎤
⎦(z 18 −z 8 )=z 8 +^12[
1 +p 4−q 1
p 1 − 1(
1 +
(p 1 − 1 )^2
q^21)
ı+q 1
p 1 − 1ı]
(z 18 −z 8 )=z 8 +^12[
1 −
2 p 1 − 1
p 1q 1
p 1 − 1ı+q 1
p 1 − 1ı+q 1
p 1 − 1ı]
(z 18 −z 8 )=z 8 +^12[
1 +
q 1
p 1 − 1(
−
2 p 1 − 1
p 1+ 1
)
ı]
(z 24 −z 8 )=z 8 +^12 [ 1 −q 1
p 1ı](z 18 −z 8 ).Continuing from this we have