tűproblémára csodálatosan váratlan a válasz: a kereszteződés
esélye 2/π, avagy 64%. Miért jön elő a π, ha itt szó sincs körről?
Buffon kissé bonyolult érveléssel jutott erre az eredményre, egy
cikloisnak nevezett görbe alatti terület kiszámításával. Annak a
meghatározásához kell némi integrálszámítás, de nem több
annál, amennyit ma egy alsóbb éves matematikushallgató is tud,
a dolog azonban így sem egészen magától értetődő.
Van azonban egy másik megoldás is, Joseph-Émile Barbier-től
- egy évszázaddal azután gondolta ki, hogy Buffon tagja lett az
akadémiának. Ehhez nem kell semmilyen formális meggondolás;
voltaképpen nincs is szükség számításokra. Az érveléshez, bár
egy kicsit körmönfont, elég némi elemi számolás és egy kis
geometria. És az egészben a várható érték additivitása a
leglényegesebb pont!
Az első lépés a Buffon-féle feladat várható értékkel való
megfogalmazása. Így is kérdezhetjük: Mi a tű által keresztezett
határvonalak várható száma? A Buffon által kiszámítandó érték - a p – annak a valószínűsége volt, hogy egy leejtett tű
határvonalat keresztezzen. Eszerint 1 − p az esély arra, hogy a tű
egyetlen határvonalat se keresztezzen. De ha a tű határvonalat
keresztez, akkor pontosan egyet fog.[^95 ]A keresztezések várható
számát tehát ugyanúgy számíthatjuk ki, mint a várható értéket:
minden lehetséges kereszteződésszámot megszorzunk annak a
valószínűségével, hogy a kereszteződések száma pont annyi
legyen, majd összeadjuk az összes ilyen szorzatot. Jelen esetben
lehetséges szám a 0 (ez 1 – p valószínűséggel történik meg),