Bármely Szakasz mindkét irányban meghosszabbítható
tetszőleges hosszúságú Szakasszá.
Bármely Pont körül tetszőleges sugarú Kör rajzolható.
Bármely két Derékszög egyenlő egymással.Talán feltűnt, hogy némelyik szót – a pontot, az egyenest, a
szakaszt, a kört és a derékszöget – most nagybetűvel írtam. De
nem azért, hogy régiesebb látszatot adjak az axiómáknak; azt
szerettem volna hangsúlyozni, hogy mindegy, hogyan nevezzük
a „pontokat” és az „egyeneseket”; mondhatnánk őket
éppenséggel „békáknak” és „törpemandarinoknak” is, de az
axiómákból levont következtetések logikai szerkezete akkor is
ugyanaz kell hogy legyen. Ez ugyanolyan, mint Gino Fano hét
pontból álló síkja; az „egyenesek” azon sem hasonlítanak az
iskolában megtanult egyenesekre – a lényeg az, hogy ameddig a
geometria szabályainak körén belül maradunk, addig úgy
viselkednek, mint az egyenesek. Talán még jobb is lenne a
pontot békának, az egyenest meg törpemandarinnak mondani,
mert az megszabadítana bennünket a Pont és az Egyenes szó
tartalmához fűződő előítéletektől.
Nézzük akkor, hogy mit jelent a Pont és az Egyenes Riemann
gömbi geometriájában. A Pont két átellenes pont alkotta pár a
gömbfelületen – vagyis olyan két pont, amelyeket egy
gömbátmérő köt össze. Az Egyenes egy „főkör” – olyan kör,
amely két egyforma féltekére osztja a gömbfelületet (mint az
Egyenlítő) –, az Egyenes szakasz pedig egy ilyen körön fekvő,
átellenes pontok alkotta körívpár. A Kör pedig a gömbfelületen