Jordan Ellenberg - Hogy ne tévedjünk - A mindennapi élet rejtett matematikája

BIZONYÍTÁS EGY BEKEZDÉSBEN: Bármelyik C főkör két
egyforma részre osztja fel a gömbfelületet: a két rész
ugyanakkora felszínű, nevezzük ezt a felszínt A-nak. Most
lássunk egy másik, C-vel párhuzamos (C-t nem metsző) főkört;
az legyen C'. Mivel az nem metszi C-t, teljes egészében a C egyik
oldalán kell lennie, vagy az egyik A felszínű félgömbön –
féltekén –, vagy a másikon. De ebből az következik, hogy a C'
által határolt terület kisebb A-nál, s az lehetetlen, mert minden
főkör ugyanakkora A felszínű féltekét határol.
A párhuzamossági axióma tehát meglepő módon nem
érvényes. (Bolyai geometriájában épp fordított a helyzet: abban
nem túl kevés az ilyen párhuzamos egyenes, hanem túl sok: a P
ponton át végtelen sok olyan egyenes húzható, amely