matematikáját zavar és válság gyötörte, mivel az általánosan
elfogadott analízisbeli és geometriai definíciókról kiderült, hogy
logikailag hibásak. Hilbert a formalizmusban látta az utat az
újrakezdésre: olyan sarkalatos alapokra kell építkezni, amelyek
teljességgel ellentmondástalanok.
De Hilbert programjában kísértet lapult: az ellenmondás
kísértete. Íme, a rémálom forgatókönyve. Egy egyetértésben
dolgozó matematikuscsoport átdolgozta a számelmélet, a
geometria és a differenciál- és integrálszámítás egész
fogalomrendszerét az alapaxiómáktól kezdve, és új tételeket
építettek rájuk, tégláról téglára, minden új réteget a dedukció
szabályai szerint az előző rétegekhez erősítve. S azután egy nap
egy amszterdami matematikus bebizonyította, hogy egy
bizonyos matematikai állítás igaz, Kiotóban egy másik meg azt,
hogy nem igaz.
Most mi legyen? Olyan állításokból, amelyekhez nem férhet
kétség, ellentmondásra lehet jutni. Reductio ad absurdum. Ebből
arra következtetsz, hogy rosszak voltak az axiómák? Vagy hogy
magának a logikai levezetésnek a struktúrájával van baj? S mit
kezdesz az ezekre az alapokra épített több évtizednyi
munkával?[^184 ]
A második tehát azokból a problémákból, amelyeket Hilbert
a Párizsban összegyűlt matematikusoknak bemutatott:
De legfőképpen a következőt szeretném mint legfontosabbat megjelölni az
axiómákkal kapcsolatban feltehető számtalan kérdés közül: Bizonyítsuk be,