132 Chapter 5Integration
5.3 The definite integral
The integral calculus was invented to solve the problem of finding the area enclosed
by a given curve. In this section we introduce, without proof, the definite integral as
a measure of area, and show how it is related to the indefinite integral. For many
problems in the physical sciences, this brief introduction is sufficient. Other problems
however require a more intimate understanding of the integral calculus, and we will
return to this in Section 5.4.
Lety 1 = 1 f(x)be a function of x, continuous in the intervala 1 ≤ 1 x 1 ≤ 1 b. The shaded
area in Figure 5.4 is known as the area under the curve; this is the area enclosed by the
graph ofy 1 = 1 f(x), the x-axis, and the verticals atx 1 = 1 aandx 1 = 1 b. In general, this area
is equal to the width, (b 1 − 1 a), multiplied by the average height, , of the curve above
the axis (the average value of the function between aand b),
(5.10)
In the special case of a linear function, as in Figure 5.5, the average height is
and the area under the curve (straight line) is that of a rectangle of width(b 1 − 1 a)and
heighty.
yfafb=+
1
2
() ()
Abay=−()
y
.......................
..
...
...
..
...
..
.....
.......
......
........
.......
.......
..f(a)
f(b)
o ab
y
x
y=f(x)
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Figure 5.4
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.........................................f(a)
f(b)
y
o
ab
(a+b)/ 2
y
x
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Figure 5.5