9.6 Some differential properties 265
and, after division by ∆x,
In the limit∆x 1 → 10 , the ratio∆y 2 ∆xapproaches the derivative of ywith respect to x
at constant z, and
(9.26)
The same result is obtained directly from the total differential (9.17) by considering
infinitesimal changes dxand dysuch thatdz 1 = 10 :
To obtain (9.26) we divide (formally) by dxand, because the process is at constant z,
we replacedy 2 dxby the partial derivative at constant z.
Equation (9.26) can be rearranged as
(9.27)
and this is the gradient of the graph of the functiony(x)for which zis constant; that is,
the gradient of the curve ab in the xy-plane in Figure 9.6 for which AB is a contour.
In addition, because
zyx
y
x
z
x
z
y
∂
∂
=−
∂
∂
∂
∂
dz
z
x
dx
z
y
dy
yx
==
∂
∂
∂
∂
0
0 =
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
yxz
z
x
z
y
y
x
0 ≈
∂
∂
∂
∂
yx
z
x
z
y
y
x
∆
∆
o
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.......................................x
y
z
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..P
Q
A
C B
p
q
a
b
∆ y
∆ x
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Figure 9.6