The Chemistry Maths Book, Second Edition

286 Chapter 9Functions of several variables

such that

Changes of variable are even more important for double (and higher) integrals

because both the function andthe boundary of the region may be sources of difficulty

when expressed in terms of inappropriate variables. Consider, for example, the

integral of over a circular region (Figure 9.15).

By equation (9.58a),

(9.59)

In this example, both the function and the boundary are expressed more simply in

terms of polar coordinates(r, 1 θ). Thus,

f(x, y) 1 = 1 f(r 1 cos 1 θ, r 1 sin 1 θ) 1 = 1 e

−r

and the equation of the circle of radius aisr 1 = 1 a. It is

sensible therefore to make the substitution

x 1 = 1 r 1 cos 1 θ, y 1 = 1 r 1 sin 1 θ

to change to polar coordinates. The corresponding

element of area, dA, can be deduced from Figure 9.16.

The shaded region has area

so that, for infinitesimal quantities,dA 1 = 1 rdrdθ. Then

ZZ (9.60)

RR

f x y dxdy(),=f r(cos sin)θθ θ,r rdrd

∆=∆×∆+ ∆ ∆Arrθθr

1

2

2

()

IfxydA e dy

a

a

ax

ax

xy

=,=

− −−

+−

−+

ZZZ

R

()

()

22

22

2212





















dx

fxy e

xy

(,)

()

=

−+

22122

ZZ

a

b

ua

ub

fxdx fxu

dx

du

() () du

()

()

=

()

a

−a

x

y

y=+

√

a

2

−x

2

y=−

√

a

2

−x

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

...

..

..

...

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

.

..

..

...

..

..

...

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

.

...........................

.......................

..............

............

...........

.........

.........

........

........

.......

.......

.......

......

.......

......

.....

.......

.....

.....

......

......

.....

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

......

.....

....

......

.....

.....

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

......

.......

......

......

........

.......

.......

.........

.........

.........

...........

............

...............

.........................

............................................

..........................

..............

............

............

.........

........

.........

........

.......

.......

.......

......

.......

......

.....

.......

.....

......

......

.....

.....

......

.....

.....

.....

.....

.....

......

....

.....

......

....

.....

......

.....

....

......

.....

.....

.....

.....

.....

......

.....

.....

......

......

.....

......

......

......

.......

......

......

........

.......

.......

.........

........

.........

............

...........

...............

.......................

..........................

Figure 9.15

....

.....

....

......

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

......

....

.....

......

....

.....

......

....

.....

.

...

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

...

....

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

....

...

...

....

...

....

...

....

....

....

....

....

....

.....

....

....

......

....

......

......

......

......

........

........

..........

...............

..........................

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

...

...

...

...

..

....

...

...

...

...

...

....

...

...

....

....

...

.....

...

....

.....

....

.....

.....

.....

......

.......

.......

.......

...........

................

...............

..

...

..

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

...

...

....

..

r

∆ r

θ

∆ θ

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

...

..

...

..

..

...

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

....

...

...

....

...

....

...

....

....

....

....

....

....

.....

....

....

......

....

......

......

......

......

........

........

..........

...............

..........................

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

...

..

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

..

...

...

...

...

...

...

..

....

...

...

...

...

...

....

...

...

....

....

...

.....

...

....

.....

....

.....

.....

.....

......

.......

.......

.......

...........

................

...............

....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

......

....

.....

......

....

.....

......

....

.....

.

...

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

...

....

...

...

....

...

...

....

...

...

...

...

....

...

Figure 9.16