10.2 Spherical polar coordinates 295
Other coordinate systems are normally defined in terms of the cartesian system.
The system of spherical polar coordinates is shown in Figure 10.2. The distance rof
the point from the origin is called the radial coordinate; it has possible values from 0
to+∞. The angle θ, the colatitude, is the angle between the radial line OP and the z-
axis; it has possible values 0 to π. In this context the z-axis is called the polar axis. The
angle φ, the longitude, is the angle between the x-axis and the line OQ, the projection
of OP in the xy-plane; it has possible values 0 to 2 π. Changes in φdescribe rotation
around the polar axis. The spherical polar and cartesian coordinates are related by the
equations
x 1 = 1 r 1 sin 1 θ 1 cos 1 φ, y 1 = 1 r 1 sin 1 θ 1 sin 1 φ, z 1 = 1 r 1 cos 1 θ (10.1)
As for polar coordinates in a plane (Section 3.5), conversion from spherical polar to
cartesian coordinates is straightforward.
EXAMPLE 10.1Find the cartesian coordinates of the point whose spherical polar
coordinates are(r, 1 θ, 1 φ) 1 = 1 (2, 1 π 2 6, 1 π 2 4).
x 1 = 1 r 1 sin 1 θ 1 cos 1 φ 1 = 121 sin(π 2 6) 1 cos(π 2 4) 1 = 1
y 1 = 1 r 1 sin 1 θ 1 sin 1 φ 1 = 121 sin(π 2 6) 1 sin(π 2 4) 1 = 1
z 1 = 1 r 1 cos 1 θ 1 = 121 cos(π 2 6) 1 = 1
0 Exercises 1–3
3
12
12
the position of the point P is specified by the ordered triple(x, y, z), the cartesian
coordinates. The coordinate xis the distance of P from the yz-plane, yis the distance
from the zx-plane, and zis the distance from the xy-plane.
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.....................O
yx
z
z
x
y
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.P(x,y,z)
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........................o
yx
z(polaraxis )
z
x
y
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.φ
θ
r
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.....................................................p(r,θ,φ)
q
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Figure 10.1 Figure 10.2