130_notes.dvi

The general solution in the region (n−1)a < x < nais

ψn(x) =Ansin(k[x−na]) +Bncos(k[x−na])

k=sqrt

2 mE

̄h^2

Now lets look at the boundary conditions atx=na. Continuity of the wave function gives

ψn(na) = ψn+1(na)

Ansin(0) +Bncos(0) = An+1sin(−ka) +Bn+1cos(−ka)

Bn = −An+1sin(ka) +Bn+1cos(ka)

Bn+1 =

Bn+An+1sin(ka)

cos(ka)

.

The discontinuity in the first derivative is

dψn+1

dx

∣

∣

∣

∣

na

−

dψn

dx

∣

∣

∣

∣

na

=

2 maV 0

̄h^2

ψn(na)

k[An+1cos(−ka)−Bn+1sin(−ka)]−k[Ancos(0)−Bnsin(0)] =

2 maV 0

̄h^2

Bn

k[An+1cos(ka) +Bn+1sin(ka)−An] =

2 maV 0

̄h^2

Bn

SubstitutingBn+1from the first equation

k[An+1cos(ka) + [Bn+An+1sin(ka)] tan(ka)−An] =

2 maV 0

̄h^2

Bn

An+1(cos(ka) + sin(ka) tan(ka)) +Bntan(ka)−An=

2 maV 0

̄h^2 k

Bn

cos^2 (ka) + sin^2 (ka)

cos(ka)

An+1=

2 maV 0

̄h^2 k

Bn−Bntan(ka) +An

An+1=

2 maV 0

̄h^2 k

Bncos(ka)−Bnsin(ka) +Ancos(ka)

Plugging this equation forAn+1back into the equation above forBn+1we get

Bn+1 =

Bn+An+1sin(ka)

cos(ka)

Bn+1 =

Bn+

( 2 maV 0

̄h^2 k Bncos(ka)−Bnsin(ka) +Ancos(ka)

)

sin(ka)

cos(ka)

Bn+1 =

Bn

cos(ka)

+

(

2 maV 0

̄h^2 k

Bnsin(ka)−Bn

sin^2 (ka)

cos(ka)

+Ansin(ka)

)

Bn+1 =

Bn

cos(ka)

+

(

2 maV 0

̄h^2 k

Bnsin(ka)−Bn

(

1

cos(ka)

−cos(ka)

)

+Ansin(ka)

)

Bn+1 =

2 maV 0

̄h^2 k

Bnsin(ka) +Bncos(ka) +Ansin(ka).