Figura 2.
Caminho aleatório típico para 100.000 lances de moeda.Ainda assim, podemos estar certos, com probabilidade 1 (quase certeza), de que no fim
das contas o caminho retornará à posição 0 (número igual de caras e coroas). Porém, como o
caminho atingiu a posição 500 depois de aproximadamente 100.000 lançamentos, o tempo que
levará para retornar à posição 0 provavelmente será mesmo muito longo. Na verdade, quando
este caminho computadorizado em particular foi estendido a 500.000 lançamentos, a posição
acabou ainda mais longe do 0.
Observe o conglomerado de retornos ao 0 até a jogada 10.000. Mais precisamente, este
caminho voltou ao 0 nas jogadas 3, 445, 525, 543, 547, 549, 553, 621, 623, 631, 633, 641,
685, 687, 1985, 1989, 1995, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011, 2017, 2027, 2037, 2039, 2041,
2043, 2059, 2065, 2103, 3151, 3155, 3157, 3161, 3185, 3187, 3189, 3321, 3323, 3327, 3329,
3347, 3351, 3359, 3399, 3403, 3409, 3415, 3417, 3419, 3421, 3425, 4197, 4199, 4203, 5049,
5051, 5085, 5089, 6375, 6377, 6381, 6383, 6385, 6387, 6389, 6405, 6465, 6479, 6483, 6485,
6487, 6489, 6495, 6499, 6501, 6511, 6513, 6525, 6527, 6625, 6637, 6639, 6687, 7095, 7099,
7101, 7103, 7113, 7115, 7117, 7127, 8363, 8365, 8373, 8381, 8535, 9653, 9655, 9657, 9669,
9671, 9675, 9677, 9681, 9689, 9697, 9699, 9701, 9927, 9931, 9933... e nenhuma outra vez até
a jogada 500.000. (Esses números são todos ímpares, porque as jogadas são alternadamente
pares e ímpares, e na primeira jogada o valor é igual a zero.)
Aparentemente, depois de chegar a um excesso de 300 caras na jogada 20.000, a moeda de
repente se “lembra” de que precisa igualar o número de coroas; assim, no lançamento 40.
ela já retornou a um excesso de aproximadamente 30 caras. Mas por que ela não se lembrou
disso antes? Ou depois? Por exemplo, no lançamento 70.000, quando o excesso de caras subiu
novamente para cerca de 300, a moeda parece ter se esquecido completamente de que
“deveria” cair em quantidades iguais de caras e coroas. Em vez disso, o excesso de caras
cresce incansavelmente.
Há um “padrão” aparente: quando ela realmente volta ao 0, costumamos ver um
conglomerado desses retornos. Por exemplo, ela retorna nas jogadas 543, 547, 549 e 553.
Mais adiante, o retorno na jogada 9653 é novamente seguido por 9655, 9657, 9669, 9671,
9675, 9677, 9681, 9689, 9697, 9699 e 9701. Essa formação de conglomerados ocorre porque
é mais provável que o caminho retorne ao 0 rapidamente se começar no 0. Na verdade, a
probabilidade de que ele vá do 0 ao 0 em duas etapas é de 1/4.
Ainda assim, ele acabará por escapar para regiões muito distantes da linha numérica — tão
distantes quanto você desejar, seja na região positiva ou na negativa. E, após fazê-lo, no fim
das contas acabará por voltar ao 0. Mas, nestes casos, o “fim das contas” é completamente