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Figura 3.1
Os padrões comuns de passar um cadarço no sapato. São mostrados os parâmetros n (número de orifícios)
e e (espaço entre o par de orifícios correspondentes).
Claro que o sapateiro não precisa se restringir aos três métodos apresentados; portanto,
podemos fazer uma pergunta mais difícil: qual método de amarrar os sapatos, dentre todos os
possíveis, requer um cadarço menor? Os métodos criativos apresentados por Halton também
respondem a essa pergunta — estando sujeitos a alguns pressupostos e às simplificações
matemáticas típicas usadas em modelos, como “cadarços infinitamente finos” —, como
demonstrarei quase ao final deste capítulo.
Vou me concentrar somente no comprimento de cadarço entre os dois orifícios “de cima”
do sapato, na parte esquerda das ilustrações — a parte representada por segmentos de linhas
retas. A quantidade extra de cadarço necessária é essencialmente aquela que utilizamos para
dar um bom laço, que é a mesma para todos os métodos, portanto podemos ignorá-la. A minha
terminologia irá se referir ao método de colocar cadarços nos sapatos do ponto de vista do
usuário (por isso falei nos orifícios “de cima”), de modo que a fileira superior de orifícios na
figura se situa no lado esquerdo do sapato, e a fileira inferior no lado direito. Também vou
idealizar o problema, de modo que o cadarço seja uma linha matemática de espessura zero e
os orifícios sejam pontos. Além disso, vamos adotar o grande pressuposto de que o método é
sempre “alternado”, ou seja, o cadarço sempre alterna entre os orifícios dos lados esquerdo e
direito. Poderíamos fazer os cálculos sem esse pressuposto, mas, para simplificar a análise,
vamos restringir nossa atenção aos métodos alternados.
Utilizando a força bruta, podemos calcular o comprimento do cadarço em relação a três
parâmetros do problema:
O número n de pares de orifícios.
A distância d entre orifícios sucessivos.