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Paradoxo perdido
Tudo o que está escrito nesta página, até o próximo ponto, é mentira. Portanto, não
é mentira, portanto é mentira... opa. O paradoxo do mentiroso intrigava os gregos da
Antiguidade e ainda causa problemas, por bons motivos. Por outro lado, outros
paradoxos famosos não se sustentam quando analisados de maneira mais minuciosa.
Alguns dos problemas fundamentais mais instigantes da matemática se encontram na área da
lógica, que dá a impressão de ser perfeitamente direta, embora esteja repleta de armadilhas. O
grande bicho-papão da lógica matemática é a existência de paradoxos que, apesar de simples,
são desconcertantes. Em termos coloquiais, podemos dizer que um paradoxo não passa de algo
que parece verdadeiro embora seja falso, ou que parece falso embora seja verdadeiro.
Por exemplo, muitas pessoas acreditam ser verdade que “o século XXI começou no ano
2000”, mas isso na verdade está errado. (O século I começou no ano 1, e não no ano 0, porque
não houve um ano 0. Agora acrescente 2000 e veja que o século XXI começou no ano 2001. O
que de fato está correto, sendo o motivo pelo qual o filme 2001: Uma odisseia no espaço não
se chamou 2000: Uma odisseia no espaço.) Temos também o fato matemático conhecido como
o paradoxo de Banach-Tarski, que afirma ser possível dividirmos uma esfera sólida de raio
unitário em um número finito de pedaços separados, que podem então ser mais uma vez
montados formando duas esferas sólidas de raio unitário. Isso obviamente parece ser falso,
pois o volume não deveria mudar... Porém, os “pedaços” em questão são tão complicados que
não possuem volumes bem definidos. Mas estou divagando.
Do ponto de vista matemático, existem paradoxos relativamente fracos — eles podem nos
forçar a rever nossos conceitos sobre algum tema, mas não nos obrigam a rever o nosso modo
de pensar. Os paradoxos lógicos mais profundos são assertivas autocontraditórias. A mais
simples delas é a afirmação “Esta frase é falsa”. Se a afirmação for verdadeira, ela então nos