PASSO 1:
PASSO 2:
PASSO 3:
PASSO 4:
PASSO 5:
Todos esses algoritmos são justos, mas existe uma questão mais sutil. Mesmo que todos
estejam convencidos de que receberam um pedaço justo do bolo, alguns dos participantes
podem sentir que levaram a pior, graças ao pecado capital da inveja. Por exemplo, Fulano,
Beltrano e Sicrano podem acreditar que receberam no mínimo 1/3 do bolo; no entanto, Fulano
pode achar que o pedaço de Beltrano é maior que o seu. O pedaço de Fulano é “justo”, mas ele
já não está tão contente. A divisão de um bolo é feita “sem inveja” se nenhuma pessoa achar
que outra tem um pedaço maior que o seu. Uma divisão sem inveja sempre é justa, mas uma
divisão justa ainda pode provocar inveja. Portanto, o problema de encontrarmos um algoritmo
para a divisão sem inveja é mais difícil que para a divisão justa.
Podemos facilmente perceber que o método “eu corto, você escolhe” não provoca inveja;
no entanto, nenhum dos demais algoritmos apresentados tem essa qualidade — não para todos
os conjuntos possíveis de avaliações do bolo. No início dos anos 1960, John Selfridge e John
Conway encontraram o primeiro algoritmo para a divisão sem inveja entre três pessoas.
Fulano corta o bolo em três pedaços que considera terem o mesmo tamanho.
Beltrano pode (a) não fazer nada, se achar que dois ou mais pedaços estão
empatados, sendo os maiores; ou (b) aparar o pedaço que julga ser o maior, de
modo a gerar esse empate. Os pedacinhos aparados são guardados: vamos
chamá-los de “restos”.
Sicrano, Beltrano e Fulano, nessa ordem, escolhem um pedaço — o que
considerarem o maior, ou um dos que estão empatados em primeiro lugar. Se
Beltrano aparou um pedaço no passo 2, deverá escolher esse pedaço a menos
que Sicrano já o tenha escolhido.Nesta etapa, uma parte do bolo foi dividida sem inveja. Mas ainda temos que dividir os
restos sem provocar inveja.
Se Beltrano não fez nada no passo 2, não há restos, e o bolo já foi dividido.
Caso contrário, Beltrano ou Sicrano ficaram com o pedaço aparado. Suponha
que tenha sido Beltrano (se foi Sicrano, troque a partir de agora seus nomes na
descrição sobre o que fazer). Então, Beltrano divide os restos em três pedaços
que considera serem iguais.
Basta que Sicrano, Fulano e Beltrano escolham, cada um, uma parte dos restos,
nessa ordem. Assim, Sicrano é o primeiro a escolher, portanto não tem nenhum
motivo para sentir inveja. Fulano não sentirá inveja de Sicrano, qualquer que
seja a divisão dos restos, porque o máximo que Sicrano conseguirá é um pedaço
que, para Fulano, certamente vale 1/3. E não sentirá inveja de Beltrano, porque
poderá escolher antes dele. Beltrano não tem por que se queixar, pois foi ele
quem dividiu os restos.Ficamos todos presos neste ponto durante 30 anos. Existe algum procedimento para a
divisão sem inveja entre n pessoas? Em 1995, Steven Brams e Alan Taylor descobriram um
incrível procedimento para a divisão sem inveja entre qualquer número de participantes. O
procedimento, ou protocolo, é incrivelmente complicado portanto não vou apresentá-lo aqui:
leia o artigo que publicaram no American Mathematical Monthly ou no maravilhoso livro
Cake Cutting Algorithms, de Jack Robertson e William Webb, ambos citados nas “Sugestões
de leitura”.
Haverá outras questões relacionadas a esse tema? Uma delas é a possibilidade de