Matemática Básica Explicada Passo a Passo - Série Provas e Concursos

Matemática Básica Explicada Passo a Passo I Luiz Cláudio Cabral e
Mauro César Nunes ELSEVIER
Série Provas e Concursos

−−−

=−

2

4

b b 4ac

x

2a

15.1. Discussão das raízes

Devemos observar que entre a equação resolvente e a biquadrada ocorrem as

seguintes relações:

I) cada raiz positiva de resolvente corresponde a duas raízes simétricas para a biqua-

drada;

II) de uma raiz negativa da resolvente não é possível calcular raízes reais para a biqua-

drada;

III) os coeficientes “a”, “b” e “c” da equação resolvente são os mesmos da biquadrada.

x=±−±−b b^2 4ac

2a

equação resolvente



⇔ ax^42 ++=bx c 0

equação biquadrada



Assim sendo, todas as hipóteses feitas sobre os coeficientes de uma recai nos

coeficientes da outra. Portanto, como “a” é positivo (se não for, multiplica-se toda a

equação por –1), podemos dividir esta discussão em três casos, conforme seja positivo,

negativo ou nulo o valor do discriminante (D) da resolvente.

1 o caso: Discriminante positivo (D > 0).

Quando D > 0, a resolvente tem duas raízes reais, e as raízes da biquadrada

dependerão do sinal do coeficiente “c”, da seguinte forma:

•    Para “c < 0” as duas raízes da resolvente terão sinais contrários, uma raiz posi-

tiva e outra negativa. Desta última, a negativa, não se pode calcular nenhuma

raiz real para a biquadrada, e da positiva corresponderão duas raízes reais e

simétricas.

•    Para “c > 0” as duas raízes da resolvente terão sinais iguais. Terão raízes positivas

quando o valor do coeficiente “b” for negativo (b < 0) e, para o valor do coefi-

ciente “b” positivo (b > 0), as duas raízes serão negativas. No primeiro caso, a

biquadrada admitirá duas raízes reais e simétricas e no segundo caso, não terão

raízes reais.

2 o caso: Discriminante nulo (D = 0).

Quando (D = 0) a resolvente terá uma raiz dupla com sinal contrário ao do coefi-

ciente “b”. Para b < 0 a raiz é positiva e, para b > 0, a raiz é negativa. No primeiro caso

a biquadrada admitirá duas raízes reais e simétricas e, no segundo, não terá raiz real.

3 o caso: Discriminante negativo (D < 0).

Neste caso, a resolvente não possuirá raízes reais. Consequentemente, a biquadrada

também não.

Verifique a natureza das raízes das seguintes equações biquadradas: