Capítulo 3 Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números naturais é o maior
de seus divisores comuns.
3.1. Processos para determinar o MDC
Utilizaremos três processos, mostrados a seguir, para determinar o MDC entre
dois ou mais números e, por último, utilizaremos o algoritmo de Euclides, outro pro-
cesso prático, para determinar o máximo divisor comum.
a) Por intersecção (U = N*)
Qual o máximo divisor comum (MDC) entre 18 , 27 e 45?
Primeiro determinamos os divisores dos números 18 , 45 e 27.
D( 18 ) = {1, 2, 3, 6, 9, 18};
D( 27 ) = {1, 3, 9, 27};
D( 45 ) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}.
Fazendo a intersecção entre D( 18 ), D( 27 ) e D( 45 ), temos:
D( 18 ) = {1, 2, 3, 6, 9, 18};
D( 27 ) = {1, 3, 9, 27};
D( 45 ) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}.
D( 18 ) ∩ D( 27 ) ∩ D( 45 ) = {1, 3, 9}
Dentre os divisores comuns achados, consideramos que o maior deles corresponde
ao MDC:
MDC(18, 27, 45) = 9
b) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa):
Achar o máximo divisor comum (MDC) dos números 54 e 405.
Para isso, basta tomar os fatores comuns aos dois ou mais números naturais
com seu menor expoente.
Decompondo os números em fatores primos, obtemos: 54 = 2. 3^3 e 405 = 3^4. 5
O fator comum a 54 e 405 com menor expoente é 33. Logo o MDC(54, 405) =
33 = 27
c) Pelo processo prático:
Achar o máximo divisor comum (MDC) dos números 180 , 240 e 270.