On résout ce programme d’optimisation quadratique par la méthode de La-
grange. On écrit le Lagrangien L,
L =
n
∑i= 1n
∑j= 1 ωiωjσij+λ(μP*−n
∑i= 1 ωiμi)+δ(^1 −n
∑i= 1 ωi). Les conditions de premierordre sont :
∂L
∂ωi= 0 =n
∑
i= 1n
∑
j= 1ωjσij−λn
∑
i= 1μi−δ , i = 1 ...n∂L
∂λ= 0 =μP*−n
∑
i= 1ωi.μi∂L
∂δ= 0 = 1 −n
∑
i= 1ωiLa solution du programme de minimisation pour un niveau de rendement dé-
siré, donne la structure ou les poids du portefeuille qui présente le mini-
mum-variance. λ et δ sont les facteurs de Lagrange.
En notations matricielles ces conditions s’écrivent comme suit :
min[σP^2 ] =ω′Ω ω , sous les contraintes μ′ω =μ*p et 핀′ω = 1
avec 핀 le vecteur unitaire (toutes ses composantes prennent la valeur 1)
On écrit le lagrangien, L :
L =ω′Ω ω+λ(μ*p −μ′ω )+δ( 1 −핀′ω ). Les conditions de premier ordre :
∂L
∂ω= 0 → Ωω−λμ−δ핀= 핆avec 핆 le vecteur nul (toutes ses composantes prennent zéro)
On résout pour ω, ω =Ω−^1 (λμ+δ핀).