Les conditions de premier ordre pour les facteurs de Lagrange :
∂L
∂λ= 0 → μp*−μ′ω = 0 → μp*= μ′ω∂L
∂δ= 0 → 1 −핀′ω = 0 → 1 = 핀′ωOn combine ces deux équations pour avoir un vecteur deux lignes et une co-
lonne.
(
μ*P
1 )= (μ′^
핀′ )ω. On remplace ω par sa valeur obtenue de la première rela-tion des conditions de premier ordre :
(
μ*P
1 )= (μ′^
핀′ )Ω−^1 (λμ+δ핀) =
(μ′Ω −^1 μ μ′Ω −^1 핀
핀′Ω −^1 μ 핀′Ω −^1 핀)(λ
δ)On résout pour λ et δ. On désigne par : A=μ′Ω −^1 μ , B=μ′Ω −^1 핀 , C= 핀′Ω −^1 핀
(
λ
δ) =(μP*
1 )(A B
B C)− 1
=1
AC−B^2 (μP*
1 )(C −B
−B A ) =1
AC−B^2 (CμP*−B
A−Bμ*P)d’où l’on tire,
λ =
CμP*−B
AC−B^2et δ =A−BμP*
AC−B^2On désigne par D= λμ+δ핀=
μ(Cμ*P −B)+핀(A−BμP*)
AC−B^2On résout pour ω, ω =Ω−^1 D. La variance du portefeuille P , σP^2 = ω′Ω ω ,
alors
σP^2 =(Ω−^1 D)′Ω (Ω−^1 D) =D′Ω −^1 D. On note que Ω−^1 est symétrique, elle est
égale à sa propre transposée.