Prof. Mehdi Shkreli
I. Capitolo. Integrale indefinito.
- Definizioni e teoremi.
1.1 Definizione : Primitiva di un funzione f in un intervallo A è una funzione F derivabile in A tale
che
ᠲ′䙦ᡶ䙧= ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡨᡗᡰ ∀ᡶ‵ᠧ.
Esempio. ᠲ䙦ᡶ䙧= ᡶ⡰ è ᡤᡓ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡓ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧= 2ᡶ ᡨᡗᡰ ∀ᡶ ∈ ᡄ
1.2 Teorema : Se F è una primitiva della funzione f anche G(x) = F(x) + c
dové c è una costante , è una primitiva..
Dimostrazione: 㐵ᠳ䙦ᡶ䙧㐹′=䙦ᠲ䙦ᡶ䙧+ᡕ䙧′= ᡘ䙦ᡶ䙧+0 = ᡘ䙦ᡶ䙧.
Esempio : ᠲ䙦ᡶ䙧= ᡶ⡰−5 è ᡤᡓ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡓ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧= 2ᡶ.
ᠲ䙦ᡶ䙧= ᡶ⡰ +3 è ᡤᡓ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡓ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧= 2ᡶ.
ᠲ䙦ᡶ䙧= ᡶ⡰ è ᡤᡓ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡓ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡘ䙦ᡶ䙧= 2ᡶ
1.3 Teorema. Se III❸, III❹ sono due primitive della stessa funzione nello stesso intervallo A, allora
esse si differiscono da una costante :
Dimostrazione: 䙦 ᠲ⡰䙦ᡶ䙧−ᠲ⡩䙦ᡶ䙧䙧′= ᡘ䙦ᡶ䙧−ᡘ䙦ᡶ䙧= 0 ᡨᡗᡰ ∀ᡶ‵ᠧ, cioè ᠲ⡩䙦ᡶ䙧−ᠲ⡰䙦ᡶ䙧= ᠩ.
quindi ᠲ⡰䙦ᡶ䙧= ᠲ⡩䙦ᡶ䙧+ᠩ.
In altre parole, una funzione f può non avere primitive in un intervallo A, ma se ne ha una F,
allora ne ammette infinite che sono date dalla formula
ᠲ䙦ᡶ䙧+ᠩ ᡨᡗᡰ ∀ᡕ ∈ ᡄ1.4 Definizione. Integrale indefinito della funzione f in un intervallo A, è l’insieme delle tutte
le sue primitive in questo intervallo:
(^) ᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ = ᠲ䙦ᡶ䙧+ᡕ.
Esempio.
㔅2ᡶ ᡖᡶ = ᡶ⡰+ᡕ
Esercizio. Disegnare alcune primitive e dare una interpretazione geometrica dell’integrale
indefinito della funzione f(x) = 2x. Trovare la primitiva di questa funzione che per x = 1 ammette il
valore -3.
Il simbolo ∫ è detto segno d’integrazione , la f(x) è detta la funzione integranda oppure la
funzione dentro il segno dell’integrale.
1.5 Teorema. La derivata di un integrale indefinito è la funzione integranda.