Dimostrazione: [ᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ]′= ᠲ′䙦ᡶ䙧+ᡕ′= ᡘ䙦ᡶ䙧 .
1.6 Teorema Il differenziale di un integrale indefinito è l’espressione dentro il segno
dell’integrale.
Dimostrazione: ᡖ[ᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ] = ᡖ䙦ᠲ䙦ᡶ䙧+ᡕ䙧= 䙦ᠲ䙦ᡶ䙧 +ᡕ䙧′ ᡖᡶ = ᠲ′䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ +0 = ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡖᡶ
Segnaliamo, senza dimostrazione, il seguente teorema dell’esistenza delle primitive.
1.7 Teorema. Ogni funzione f continua in un intervallo ammette sempre primitiva.
Per trovare le primitive dimostriamo le due proprietà lineari degli integrali indefiniti.
Proprietà 1. L’integrale del prodotto di una costante k per una funzione continua f è uguale al
prodotto della costante per l’integrale della funzione :
ᔖᡣ ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ = ᡣᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ.
Dimostrazione: I due membri di quest’ uguaglianza hanno la stessa derivata.
㐨㔅↓ ↈ䙦∆䙧ↆ∆㐲′
= ᡣ ᡘ䙦ᡶ䙧 ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ 㐨↓㔅ↈ䙦∆䙧ↆ∆㐲′
= ᡣ ᡘ䙦ᡶ䙧quindi differiscono da una costante arbitraria che non si scrive perché compresa negli integrali
indefiniti.
Esempio : ᔖ2cosᡶ ᡖᡶ = 2ᔖcosᡶ ᡖᡶ = 2 ᡱᡡᡦᡶ +ᡕ
Proprietà 2. L’integrale di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali
delle singole funzioni.
ᔖ [ᡘ䙦ᡶ䙧+ᡙ䙦ᡶ䙧] ᡖᡶ =ᔖᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ +ᔖᡙ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ.
Dimostrazione: I due membri di quest’ uguaglianza hanno la stessa derivata.
quindi differiscono da una costante arbitraria che non si scrive perché compresa negli integrali
indefiniti.
Esempio : ᔖ䙦1−sinᡶ䙧 ᡖᡶ =ᔖ1 ᡖᡶ − ᔖsinᡶ ᡖᡶ = ᡶ +cosᡶ +ᡕ
- Calcolo degli integrali indefiniti.
Ogni funzione derivabile F in un intervallo è la primitiva della sua funzionederivata F’ in questo
intervallo,
quindi dalla tabelle delle derivate delle funzioni composte si ottiene la tabella delle primitive.
Ogni formula può anche essere dimostrata calcolando la derivata rispetto alla “u” del membro
destro e verificando che uguale alla funzione sotto il segno dell’integrazione. La u = u(x) , è una
funzione qualsiasi derivabile della x.