Esempio 2. Calcolare per parti ᠵ =ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ ᡕᡧᡦ ᡓ > 0,
Poniamo ᡳ = √ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡴ = ᡖᡶ si ha
ᡖᡳ = −√〨ㄘけ⡹けㄘ ᡖᡶ ᡴ = ᡶ
sostituendo nella formula per parti si ottiene :
ᠵ =ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = ᡶ ∙ √ᡓ⡰−ᡶ⡰ − ᔖ ⡹け
ㄘ
√〨ㄘ⡹けㄘ ᡖᡶ (1)calcoliamo separatamente l’ultimo integrale aggiungendo e togliendo a^2 nel numeratore , si ha
㔅−ᡶ⡰
√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = 㔅ᡓ⡰−ᡶ⡰−ᡓ⡰
√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = 㔅ᡓ⡰−ᡶ⡰
√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ −ᡓ⡰㔅1
√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ ==ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ −ᡓ⡰∙arcsin け〨= ᠵ −ᡓ⡰∙arcsin け〨 ,
sostituendo al (1) si ha l’equazione ad una incognita I :
ᠵ = ᡶ ∙ √ᡓ⡰−ᡶ⡰ –ᠵ +ᡓ⡰∙arcsin け〨 oppure 2ᠵ = ᡶ ∙ √ᡓ⡰−ᡶ⡰+ᡓ⡰∙arcsin け〨
da qui si ottiene il risultato :
(^) ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = け⡰∙ √ᡓ⡰−ᡶ⡰+〨
ㄘ
⡰∙arcsin
け
〨+ ᡕ^
Esempio 3. Calcolare per parti ᔖ√ᡶ⡰+ᡣ ᡖᡶ ᡕᡧᡦ ᡣ ∈ ᡄ
Poniamo ᡳ = √ᡶ⡰+ᡣ ᡖᡴ = ᡖᡶ
si ha ᡖᡳ =√けけㄘ⡸十 ᡖᡶ ᡴ = ᡶ
sostituendo nella formula per parti si ottiene :
ᠵ =ᔖ√ᡶ⡰+ᡣ ᡖᡶ = ᡶ ∙ √ᡶ⡰+ᡣ − ᔖ け
ㄘ
√けㄘ⡸十 ᡖᡶ (1)
calcoliamo separatamente l’ultimo integrale aggiungendo e togliendo k nel numeratore , si ha
㔅
ᡶ⡰
√ᡶ⡰+ᡣ
ᡖᡶ = 㔅
ᡶ⡰+ᡣ −ᡣ
√ᡶ⡰+ᡣ
ᡖᡶ = 㔅
ᡶ⡰+ᡣ
√ᡶ⡰+ᡣ
ᡖᡶ −ᡣ㔅
1
√ᡶ⡰+ᡣ
ᡖᡶ =
=ᔖ√ᡶ⡰+ᡣ ᡖᡶ −ᡣ ∙ᡤᡦ㘧ᡶ +√ᡶ⡰+ᡣ㘧 = ᠵ −ᡣ ∙ᡤᡦ㘧ᡶ +√ᡶ⡰+ᡣ㘧 ,
sostituendo al (1) si ha l’equazione con l’incognita I :
ᠵ = ᡶ ∙ √ᡶ⡰+ᡣ –ᠵ + ᡣ ∙ᡤᡦ㘧ᡶ +√ᡶ⡰+ᡣ㘧 oppure 2ᠵ = ᡶ ∙ √ᡶ⡰+ᡣ+ᡣ ∙ᡤᡦ㘧ᡶ +√ᡶ⡰+ᡣ㘧