Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

2. La retta OP si definisce dal punto O = (0 ,0 ,0) e dal vettore iiiii䙒䙒䙒䙒䙒䙒ጘ= 䙦❸,❸,❸䙧 , perciò le
   sue equazioni parametriche sono:

㐡

ᡶ 㐄 1 ∙ᡲ    ㎗ 0

ᡷ = 1∙ᡲ  +0

ᡸ = 1 ∙ᡲ     +0

̄ᡨᡗᡰ                0 ≤ ᡲ ≤ 1                   ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ㐡

ᡖᡶ 㐄 ᡖᡲ

ᡖᡷ 㐄 ᡖᡲ

ᡖᡸ 㐄 ᡖᡲ

̄

Sostituendo nel integrale si ha:

2( ) 2 2( ) 2 1

1

0

L =∫ x + ydx + xdy − zdz =∫ t + t dt + dtt − dtt =

OP

3. Cerchiamo di calcolare l’integrale con aiuto della primitiva se esiste.

L = OP ∫ 2( x + y ) dx + xdy − 2 zdz

Controlliamo se esiste la funzione primitiva per l’espressione

2( x + y ) dx + xdy − 2 zdz

La condizione dell’ esistenza della primitiva è:

' ' , ' ' , ' '

PY = QX RX = PZ QZ = RY

Siccome ᡂ = 2ᡶ ㎗ᡷ       ,                       ᡃ =ᡶ    ,                           ᡄ = −2  ᡸ si ha :

PY ' = QX ' = 1 , R ' X = PZ ' = 0 , QZ ' = RY ' = (^0)
quindi esiste la funzione primitiva U(x,y,z) , che la calcoliamo con la formula :
= ∫ + ∫ + ∫ +
x
x
z
z
y
y
U x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( 0 , , ) ( 0 , 0 , )
prendo come punto iniziale (xo , yo , zo ) = ( 0, 0, 0 ) allora si ha :
=∫ + +∫ +∫− +
x y z
U x y z x y dx dy zdz C
0 0 0
( , , ) 2( ) 0 2
U ( x , y , z )= x^2 + xy − z^2 + c
L =∫ 2( x + y ) dx + xdy − 2 zdz = U ( P )− U ( O )= U )1,1,1( − U )0,0,0( = 1
OP