Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Esercizio.

Calcolare l’integrale L = ∫ + + −
OP

2( x y ) dx xdy 2 zdz :

1. secondo la spezzata OABP , dove O = (0,0,0 ), A = (1,0,0), B = (1,1,0), P = (1,1,1).


2. secondo il segmento rettilineo OP.


3. usando la funzione primitiva se esiste.
   Soluzione.


4. Siccome la linea OABP non è liscia, perché nei punti angolosi A, B non esiste la retta
   tangente, il calcolo dell’integrale si fa a tratti. Quindi

L = LOA + LAB + LBP

Tratto OA 㐡

0 ≤ᡶ ≤ 1

ᡷ 㐄 0

ᡸ = 0

̄ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ㐡

ᡖᡶ 㐄 ᡖᡶ

ᡖᡷ 㐄 0

ᡖᡸ = 0

̄ 2( ) 2 2 1

1

0

L =∫ x + y dx + xdy − zdz =∫ xdx =

OA

OA^

Tratto AB 㐡

ᡶ 㐄 1

0 ≤ ᡷ ≤ 1

ᡸ = 0

̄ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ㐡

ᡖᡶ 㐄 0

ᡖᡷ = ᡖᡷ

ᡖᡸ = 0

̄ 2( ) 2 1 1

1

0

L =∫ x + y dx + xdy − zdz =∫ dy =

OA

AB^

Tratto BP 㐡

ᡶ 㐄 1

ᡷ 㐄 0

0 ≤ ᡸ ≤ 1

̄ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ㐡

ᡖᡶ 㐄 0

ᡖᡷ = 0

ᡖᡸ = ᡖᡸ

̄ 2( ) 2 2 1

1

0

L =∫ x + y dx + xdy − zdz =− ∫ zdz =−

BP

BP^

in totale L = 1