Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Calcoliamo l’integrale triplo proiettando sul piano xy.

∫∫∫ = ∫∫ ∫

A S

S x y

S x y

Z Z

XY

R x y z dx dy dz dx dy R dz

( , )

( , )

' '

3

1

( , , ) =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

= +

= − =

3 1

( , , ) ( , , )

( , , 3 ( , )) ( , , 1 ( , ))

S S

S S

R x y z dx dy R x y z dx dy

R x y S x y dx dy R x y S x y dx dy

XY XY

Il primo integrale e calcolato secondo la faccia sopra S 3 , mentre il secondo integrale di superficie è
calcolato secondo la faccia sotto la superficie S 1.
E facile provare che sulla superficie cilindrica S 2 abbiamo:

( , , ) 0

2

∫∫ =

S

R x y z dx dy

quindi in totale abbiamo :

∫∫∫ = ∫∫ + ∫∫ + ∫∫

T S S S

RZ x y z dx dy dz R dx dy R dx dy R dx dy

1 2 3

' ( , , )

oppure:

R x y z dx dy dz R x y z dx dy

T S

∫∫∫ Z ( , , ) = ∫∫ ( , , )

'

L’integrale di superficie a destra si calcola secondo la faccia esterna della superficie chiusa S, che è
la frontiera del solido T.
Si dimostra che l’ultima uguaglianza è vera anche per le zone che non sono regolari nella direzione
OZ, ma si dividono in tali zone.
Nel modo analogo si calcolano e si dimostrano anche le uguaglianze:

P x y z dx dy dz P x y z dy dz

T S

∫∫∫ x '( , , ) = ∫∫ ( , , )^

Q x y z dx dy dz Q x y z dx dz

T S

∫∫∫ ' y ( , , ) = ∫∫ ( , , )^

Sommando questi integrali si dimostra la formula (1).