Nella pratica spesso poniamo t = h(x) dove h è una funzione non costante con la derivata
continua. Da cui si ricava la funzione inversa x = g(t) , si calcola dx = g’(t) dt e si
sostituiscono nell’integrale. Si calcola l’integrale in t e nel risultato si sostituisce t con
l’espressione h(x).Di questo metodo ci siamo serviti nei calcoli degli integrali con aiuto dei differenziali.
Esempio 1. Calcolare per sostituzione l’integrale : ᠵ =ᔖ√ᡗけ−1 ᡖᡶ
Soluzione: Sostituisco con ᡲ =√ᡗけ−1 da cui ᡗけ= 1 +ᡲ⡰ , e quindi ᡶ = ln 䙦1+ᡲ⡰䙧 mentre
ᡖᡶ =⡩⡸ぇ⡰ぇㄘ ᡖᡲ , l’integrale si calcola cosi:
ᠵ =ᔖ√ᡗけ−1 ᡖᡶ = 2ᔖ ぇ
ㄘ
⡩⡸ぇㄘ ᡖᡲ = 2ᔖぇㄘ⡸⡩⡹⡩
⡩⡸ぇㄘ = 2ᔖ䙲1−⡩
⡩⡸ぇㄘ䙳 ᡖᡶ = 2䙦ᡲ −ᡓᡰᡕᡲᡙ ᡲ䙧= ^ᔖ䙲1 −⡩⡸ぇ⡩ㄘ䙳 ᡖᡶ = 2䙦ᡲ −ᡓᡰᡕᡲᡙ ᡲ䙧= 2䙦√ᡗけ−1−ᡓᡰᡕᡲᡙ √ᡗけ−1䙧 +ᡕ.
Esempio 2 Calcolare per ᡱᡧᡱᡲᡡᡲᡳᡸᡡᡧᡦᡗ ᠵ =ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ ᡕᡧᡦ ᡓ > 0,
Poniamo ᡶ = ᡓsinᡲ ᡕᡧᡦ –ゕ⡰< ᡲ <ゕ⡰ ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᡗᡱᡡᡱᡲᡗ ᡤᡓ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡗ ᡡᡦᡴᡗᡰᡱᡓ ᡲ = ᡓᡰᡕᡱᡡᡦ け〨
mentre ᡖᡶ = ᡓcosᡲ ᡖᡲ √ᡓ⡰−ᡶ⡰= √ᡓ⡰−ᡓ⡰ᡱᡡᡦ ⡰ᡲ= ᡓcosᡲ
sostituendo nell’integrale si ottiene
ᠵ =ᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = ᡓ⡰ᔖcos⡰t = 〨
ㄘ
⡰䙦1+sinᡲcosᡲ䙧 , sostituendo t si haᔖ√ᡓ⡰−ᡶ⡰ ᡖᡶ = け⡰∙ √ᡓ⡰−ᡶ⡰+〨
ㄘ
⡰∙arcsin け
〨+ ᡕ^Esercizi. Calcolare per sostituzione.
1) ᔖ⡩⡸〲√㊙
√け ᡖᡶ , ᡲ =√ᡶ^- (^) ᔖけ⡹⡱√け ᡖᡶ
- (^) ᔖᡶ√ᡶ +1 ᡖᡶ , ᡲ =√ᡶ +
- ᔖ⤓⤥⤩け〱け , ᡨᡧᡦᡙᡧ ᡲ = ᡲᡙ け⡰ ᡓᡤᡤᡧᡰᡓ ᡶ = 2 ᡓᡰᡕᡲᡙ ᡲ ,ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ ᡖᡶ = ⡩⡸ぇ⡰ㄘ ᡖᡲ
ᡖᡓᡤᡤᡓ ᡲᡰᡡᡙᡧᡦᡧᡥᡗᡲᡰᡡᡓ sinᡶ =
2ᡲ
1+ᡲ⡰ , cosᡶ =
1−ᡲ⡰
1+ᡲ⡰^