per calcolare questo integrale si può trasformare il numeratore per contenere la derivata
del denominatore cioè derivata del trinomio:ᡥ ᡶ +ᡦ =⡰〨 䙦2ᡓᡶ +ᡔ䙧+䙦ᡦ −〩⡰〨)
si ha :㔅ᡥ ᡶ +ᡦ
ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ ᡖᡶ = ᡥ
2ᡓ㔅䙦2ᡓᡶ +ᡔ䙧
ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ ᡖᡶ +㐶ᡦ −ᡥᡔ
2ᡓ㑀㔅ᡖᡶ
ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ^siccome
䙦2ᡓᡶ +ᡔ䙧 ᡖᡶ = ᡖ䙦ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ䙧si ottiene la formula di calcoloᔖ〨け け⡸ぁㄘ⡸〩け⡸〰 ᡖᡶ = ⡰〨ln |ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ| +䙲ᡦ −〩⡰〨䙳⡩〨ᔖ 〱け
䙲け⡸ㄘ㉶㉷䙳ㄘ⡹ ㉷ㄘㄠ㉶ㄧㄠ㉶㉸ㄘEsercizi: Calcolare gli integrali di secondo tipo con trinomio nel denominatore:
- (^) ᔖけ⡰け⡸⡳ㄘ⡸け⡹⡰ ᡖᡶ
- (^) ᔖけけ⡹⡱ㄘ⡸⡲け ᡖᡶ
- ᔖけㄘけ⡸⡰⡸け⡸⡩ ᡖᡶ
- (^) ᔖけㄘ⡱け⡸⡩⡸⡰け⡸⡩ ᡖᡶ
- Integrali con il trinomio sotto la radice quadrata.
Se la funzione integranda è una frazione della x e della radice quadrata del trinomio si può fare
uno dei seguenti sostituzioni di Eulero:
㒓ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ= ±√ᡓ ᡶ + ᡳ ᡱᡗ ᡓ > 0㒓ᡓᡶ⡰+ᡔᡶ +ᡕ= ᡶ ᡳ ± √ᡕ ᡱᡗ ᡕ > 0Esempio : Calcolare l’integrale
㔅ᡖᡶ
√ᡶ⡰+ᡣ ᡖᡧᡴè ᡣ ≠ 0.Soluzione: Siccome a = 1 > 0 , facciamo la prima sostituzione,
(^) √ᡶ⡰+ᡣ= −ᡶ + ᡳ ha ᡶ⡰+ᡣ = 䙦−ᡶ + ᡳ䙧⡰ ᡶ⡰+ᡣ = ᡶ⡰−2ᡶᡳ +ᡳ⡰ ᡖᡓ ᡩᡳᡡ ᡱᡡ ℎᡓ.