Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

∫∫∫ = ∫∫ ∫

E E

y x y

xz y x y

f x y z dx dy dz dxdz f x y z dy

( , )

( , )

2

1

( , , ) ( , , )

3. Cambio delle variabili nell’integrale triplo.

Nei casi in qui è difficile calcolare l’integrale triplo in xyz allora si fa il cambio delle variabili:

ᡆ ∶     䚈

ᡶ 㐄 ᡶ䙦ᡳ,ᡴ,ᡲ䙧

ᡷ = ᡷ䙦ᡳ,ᡴ,ᡲ䙧

ᡸ = ᡸ䙦ᡳ,ᡴ,ᡲ䙧

̄                                   ᡨᡗᡰ                             ∀䙦ᡳ,ᡴ,ᡲ䙧∈ ᠱ䖓                                䙦1䙧

Il cambio è possibile matematicamente se esiste se anche le funzione inversa :

ᡆ⡹⡩:    䚈

ᡳ = ᡳ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧

ᡴ = ᡴ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧

ᡲ = ᡲ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧

̄                               ᡨᡗᡰ                         ∀䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧∈ ᠱ                                 䙦2䙧

In altre parole la funzione ᡆ:ᠱ䖓→ ᠱ ᡖᡗᡴᡗ ᡗᡱᡱᡗᡰᡗ ᡔᡡᡗᡲᡲᡡᡴᡓ. Si dimostra che per esistenza del
cambio T bisogna che le funzioni x(u,v,t), y(u,v,t), z(u,v,t) abbiano le derivati primi parziali
continue.
Si dice jacobiano del cambio delle variabili T date con le formule (1) , il determinante:

' ' '

' ' '

' ' '

( , , )

u v t

u v t

u v t

z z z

y y y

x x x

J u v t =

dové xu ', x ' v .... sono le derivate parziali delle funzioni nelle formule del passaggio (1).

Nota. Il jacobiano del cambio inverso ᡆ⡹⡩:ᠱ → ᠱ䖓 è il determinante :

ᠶ䙦ᡶ,ᡷ,ᡲ䙧= 㘩

ᡳけ, ᡳげ, ᡳこ,

ᡴけ, ᡴげ, ᡴこ,

ᡲけ, ᡲげ, ᡲこ,

㘩

I cambi T e T -1 sono funzioni inverse di una con l’altra, perciò i prodotto dei loro jacobiani vale
uno:
ᠶ䙦ᡳ,ᡴ,ᡲ䙧 ∙ ᠶ䙦ᡶ,ᡷ,ᡸ䙧= 1

Questa formula spesso è molto utile per calcolare il jacobiano.
Al volume elementare dV ’ di un parallelepipedo nel sistema uvt si trasforma in un volume
elementare dV in sistema xyt.
Nella matematica si dimostra che :

dV = J ( u , v , t )⋅ dV ' oppure ↆ∆ↆ∇ↆ∈ =|VII䙦∃,∄,∂䙧| ↆ∃ↆ∄ↆ∂

Jacobiano si dice anche il coefficiente della deformazione dello spazio in questo passaggio.