Mehdi Shkreli. INTEGRALI.







= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

ρ φ

ρ θ φ

ρ θ φ

cos

sin sin

cos sin

z

y

x

Possiamo adesso calcolare il Jacobiano J :

ρ φ

φ ρ φ

ρ θ φ θ φ ρ θ φ

ρ θ φ θ φ ρ θ φ

θ ρ φ

θ ρ φ

θ ρ φ

sin

0 cos sin

cos sin sin sin sin cos

sin sin cos sin cos cos

2

' ' '

' ' '

' ' '

=

−

−

= =

z z z

y y y

x x x

J

Quindi l’integrale triplo dal passaggio dalle xyz nelle coordinate sferiche si trasforma cosi:

∫∫∫ ⋅ = ∫∫∫ ⋅ ⋅

θρφ

ρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ θ ρ φ

E E

f x y z dx dy dz f d d d

xyz

( , , ) ( cos sin , sin sin , cos )^2 sin

Esercizio. Calcolare l’integrale triplo :

∫∫∫ + +

E x y z

dxdydz

2 2 2

dové E è il corpo compreso tra due seguenti superficie sferiche:

x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e x^2 + y^2 + z^2 = b^2 con a ≤ b

Soluzione: passando nelle coordinate sferiche si ottiene

2 ( )

(^1) sin sin
2 2
2
0 0
2
2 2 2
b a
d d d d d d
x y z
I dxdydz b
E E a
= −
= ⋅ ⋅ = =

• 
  
  
  
  • 
    
  
  
  
  

= ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫

π

ρ φ θ ρ φ θ ρ ρ φ φ

ρ

π π

θρφ

a b

x

y

z