Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

r r

r

z z z

y y y

x x x

J

r z

r z

r z

=

−

= =

0 0 1

sin cos 0

cos sin 0

' ' '

' ' '

' ' '

θ θ

θ θ

θ

θ

θ

Quindi, l’integrale triplo dal passaggio dalle xyz nelle coordinate cilindriche si trasforma cosi:

∫∫∫ ⋅ =∫∫∫ ⋅ ⋅

Exyz Er z

f x y z dx dy dz f r r z r dr d dz

θ

( , , ) ( cos θ, sin θ, ) θ

Esercizio. Trovare la massa del cilindro

E ={( x , y , z )∈ R^3 ; x^2 + y^2 ≤ a^2 , con 0 ≤ z ≤ h } con la densità μ( x , y , z )= x^2 + y^2

Soluzione: Usando le coordinate cilindriche si ottiene

= ∫∫∫ + ⋅ =∫∫∫ ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ =

π π

θ θ

θ

2

0 0 0

2 2 2 3

3

a h 2

E E

m x y dx dy dz r r d dr dz d r dr dz a h

xyz r z

5. Integrale triplo nelle coordinate sferiche.

La posizione di un punto P = (x,y,z) nello spazio può essere definito dalla terna dei numeri (θ,ρ,φ)
che si dicono coordinata sferiche.
Sia P’ la proiezione del punto P sul piano xy, si definiscono :
θ è l’angolo fra il piano XOZ e del piano POP’, i valori dell’angolo θ sono compresi nell’intervallo
[ 0; 2π],
ρ = OP , è la distanza dal origine del punto P, è ovvio ρ∈[;0+∞ [

( , )

^→
φ= zOP
è l’angolo fra l’asse z e il raggio vettore OP. L’angolo φ∈[;0π]

Dalla figura si ricavano le formule del passaggio dalle coordinate cartesiane xyz nelle coordinate

sferiche (θ,ρ,φ) , si ha






= ⋅

= ⋅

θ

θ

'sin

'cos

y OP

x OP

mentre OP '=ρ⋅sin φ quindi

x

y

z

o

P'

P

θ

φ ρ P'

O X

Y

θ

x

y