Dalla definizione ds> 0
Quindi l’integrale di superficie di primo tipo in questo caso si calcola con la formula:
f ( x , y , z ) dS f ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v )) N du dv )1(
S Duv∫∫ = ∫∫^
Il valore del integrale non dipende dalla parametrizzazione della superficie.
Si sa che le coordinate del prodotto vettoriale:
ᡀ䙒䙒ጘ= ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ×ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘsi trovano con le formule :
ᡀ䙒䙒ጘ= 㐶㘨 ᡷえ䖓 ᡸえ䖓
ᡷぉ䖓 ᡸぉ䖓㘨,㘨ᡸえ䖓 ᡶえ䖓
ᡸぉ䖓 ᡶぉ䖓㘨,㘨ᡶえ䖓 ᡷえ䖓
ᡶぉ䖓 ᡷぉ䖓㘨㑀^
mentre il modulo
㘧ᡀ䙒䙒ጘ㘧 㐄㒖㘨 ᡷえ䖓 ᡸえ䖓
ᡷぉ䖓 ᡸぉ䖓㘨⡰
㎗㘨ᡸえ䖓 ᡶえ䖓
ᡸぉ䖓 ᡶぉ䖓㘨⡰
㎗ 㘨ᡶえ䖓 ᡷえ䖓
ᡶぉ䖓 ᡷぉ䖓㘨⡰La formula (1) del calcolo di un integrale di superficie di primo tipo si può scrivere anche
diversamente.
Dalla definizione del modulo del prodotto vettoriale si ha:
㘧ᡀ䙒䙒ጘ㘧⡰
㐄 㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ×ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㘧⡰
㐄 䙦㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ㘧∙ 㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒ぉ䖓 ጘ ̄ ̄㘧∙ᡱᡡᡦ 䙧⡰㐄 㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ㘧⡰
㘧ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㘧⡰䙦
1㎘ᡕᡧᡱ ⡰∝䙧㐄 㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ㘧⡰
㘧ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㘧⡰
㎘㐵ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ∙ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㐹⡰ponendo ᠱ 㐄 㘧ᡅ䙒䙒䙒え䙒䖓ጘ㘧
⡰
, ᠳ = 㘧ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㘧⡰
, ᠲ = 㐵ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ∙ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㐹si ottiene la formula (1) del calcolo nella forma :
f ( x , y , z ) dS f ( x ( u , v ), y ( u , v ), z ( u , v )) EG F^2 du dv )2(
S Duv