Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Esercizio. 1
Calcolare l’integrale di superficie del primo tipo :

∫∫

+

=

S

dS

z

x y

I 2

2 2

dové ᡅ è ᡖᡓᡲᡓ ᡕᡧᡦ ᡤ䖓ᡗᡩᡳᡓᡸᡡᡧᡦᡡ ᡨᡓᡰᡓᡥᡗᡲᡰᡡᡕℎᡗ ∶

S: 㐡

ᡶ 㐄 ᡱᡡᡦ䙦ᡳᡴ䙧

ᡷ 㐄 ᡕᡧᡱ䙦ᡳᡴ䙧

ᡸ 㐄 ᡳ

̄                                   ᡕᡧᡦ         䙦ᡳ,ᡴ䙧 ∈ ᠰ

dové ᠰ 㐄䙨䙦ᡳ,ᡴ䙧∈ ᡄ⡰: ᡳ ≤ 2 ⋀ 1 ≤ ᡴ ≤ ᡳ䙩 è la zona limitata dal triangolo nella figura

Soluzione:
Usiamo la formula (1).

ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ∶   䚈

ᡶえ䖓 㐄 ᡴ ᡕᡧᡱ䙦ᡳᡴ䙧

        ᡷえ䖓㐄 ㎘ᡴ ᡱᡡᡦ 䙦ᡳᡴ 䙧

ᡸえ䖓 㐄 1

̄ ,                                     ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ∶    䚈

ᡶぉ䖓㐄 ᡳ  ᡕᡧᡱ䙦ᡳᡴ䙧

        ᡷぉ䖓㐄 ㎘ᡳ ᡱᡡᡦ 䙦ᡳᡴ 䙧

ᡸぉ䖓㐄 0

̄

ᠱ = 㘧ᡅ䙒䙒䙒䙒え䖓ጘ㘧

⡰

= ᡴ⡰+1,                                     ᠳ = 㘧ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㘧

⡰

= ᡳ⡰,                       ᠲ = 㐵ᡅ䙒䙒䙒え䙒䖓ጘ∙ᡅ䙒䙒䙒ぉ䖓ጘ㐹 = ᡳᡴ                             

∫∫ = ∫∫ + − = ∫∫

= +

S D D

du dv

u

v u uv du dv

u

dS

z

I x y^1 (^2 )1^2 ( )^21

2 2

2 2

I= 㔅 d u 㔅

1

u

⤱

⡩

⡰

⡩

d v = 㔅

1

ud u 㔅 d v = 㔅

u−1

u d u = 㔅 㐶1 −

1

u㑀d u = 1 −ln2

⡰

⡩

⡰

⡩

⤱

⡩

⡰

⡩

v

u

D

1

2

1

2